Teorema de Laplace Exemplos e fórmula para o cálculo da matriz inversa.
Pré-requisitos. Submatriz : Sendo M quadrada, a submatriz, chamada de Mij é a matriz obtida da matriz M, RETIRANDO DESTA A LINHA i E A COLUNA j. Cada elemento possui uma submatriz associada. Exemplo:
Determinante das submatrizes. det Mij = Dij
Cofatores. A cada elemento aij podemos definir: Aij = (1)i+j.Dij Exemplos: A11 = ( 1)1+1D11 = (+1)( 3) = 3 A12 = ( 1)1+2D12 = ( 1)( 6) = + 6 A13 = ( 1)1+3D13 = (+1)( 3) = 3 Quando muda o sinal? Quando não muda? i+j é impar i+j é par
Teorema de Laplace Para calcular o determinante de uma matriz quadrada de ordem n, escolhemos arbitrariamente uma de suas filas (linha ou coluna). O DETERMINANTE DA MATRIZ É A SOMA DOS PRODUTOS DOS ELEMENTOS DESSA FILA PELOS SEUS RESPECTIVOS COFATORES.
Exemplo A escolha da fila não afeta o resultado do determinante, mas a escolha deve ser inteligente. Escolha:1ª linha. A11= 3 A12= + 6 A13 = 3 detM = a11A11 + a12A12 + a13A13 detM = 1.( 3) + 2. 6 + ( 1)( 3) = 12 Resolva de novo por regra de Sarrus.
Exemplo Escolha: 2ª coluna. detA = a12A12+a22A22+a32A32+a42A42
Matriz inversa de ordem 3. Onde: Aij é o cofator do elemento aij.
Exemplo 3 9 1 6 1 2 A31= ( 1)3+1. = 1( 2)= 2 5 2 1 1