Simulação Numérica de Sistemas de N-Corpos com Atracção Gravítica Mestrado em Física Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa Nuno S. A. Pereira 2001

Sumário (I) Parte I Parte II Regularização Binária. Precisão das Soluções Numéricas / Métricas de Avaliação. Caso de Estudo: resolução numérica de um problema de 2-corpos. Parte II O Problema do N-Corpos: modelo matemático, aplicações, resultados teóricos: integrabilidade e singularidades. Resolução Numérica: abordagens, métodos e algoritmos.

Sumário (II) Parte III Parte IV O Problema da Instabilidade Exponencial. Métricas de Avaliação: equações variacionais e expoentes de Lyapunov. Caso de Estudo: simulação de sistemas com N=4,8,16. Simulações Numéricas: sim ou não, que futuro? Parte IV O Pacote NNEWTON. Conclusões.

Parte I Regularização Binária. Precisão das Soluções Numéricas / Métricas de Avaliação. Caso de Estudo: resolução numérica de um problema de 2-corpos.

Regularização Binária Onde: Problema dos 2-corpos / Problema de Kepler. Quando: Colisões / Encontros próximos (órbitas muito excêntricas). Porquê: Singularidade das equações do movimento na origem. Como: Técnicas analíticas para remover a singularidade.

Regularização Binária Estabelecer a existência de soluções para condições iniciais arbitrárias. Acompanhar analiticamente as soluções que atravessam singularidades. Tratar com precisão os encontros próximos. Importante para as simulações numéricas

Técnicas de Regularização de Encontros Binários Equação do movimento em coordenadas físicas singular Transformação de coordenadas Equação do movimento em coordenadas regularizadas não-singular

Técnicas de Regularização (I) Levi-Civitta (1903) - 2D Mudança na escala de tempo (Euler, 1765): Introdução do tempo fictício s. Identificação do plano do movimento com o plano complexo: Introdução da Matrix de Levi-Civitta/Transformação LC

Técnicas de Regularização (II) Kustaanheimo-Stiefel (1965) - 3D Mudança na escala de tempo (Euler, 1765): Introdução do tempo fictício s. Transformação num espaço 4D. Introdução da Matrix de Kustaanheimo-Stiefel/Transformação KS

Oscilador/repulsor harmónico Regularização LC/KS Equação do movimento em coordenadas físicas Equação do movimento em coordenadas regularizadas Oscilador/repulsor harmónico Equação Regular

Técnicas de Regularização (III) Método InOut - 2D/3D Definimos uma bola de regularização de raio R. Condições iniciais Condições finais In Simó, C. , Lacomba, E. A. (1992) Out

Regularização de um Encontro Binário Exemplo numérico Condições iniciais h=-2 v=1 m1=m2=1 x1=y1=vx1=vy1=0 P=/2  1.57 e=0.9, 0.99, 0.999, 0.9999 Definição das coordenadas y=(1-e2)1/2 x2 + y2=(4/5)2 Parâmetros da simulação ho=hmax= 10-3 hmin=10-5 =10-15 reg=1 t=15.71 (10P) NNEWTON

Regularização IO de um Encontro Binário Resultados Numéricos Sem regularização Com regularização e=0.9 SOLEXACT2 NNEWTON

Regularização IO de um Encontro Binário Resultados Numéricos Sem regularização Com regularização e=0.99 SOLEXACT2 NNEWTON

Regularização IO de um Encontro Binário Resultados Numéricos Sem regularização Com regularização e=0.999 SOLEXACT2 NNEWTON

Regularização IO de um Encontro Binário Resultados Numéricos Sem regularização Com regularização e=0.9999 SOLEXACT2 NNEWTON

Precisão das Soluções Numéricas Métricas de Avaliação Distância entre a solução numérica e a solução exacta Distância entre as partículas (numérica) Erros relativos Factores de Qualidade

Precisão das Soluções Numéricas Exemplo Numérico - Factor de Qualidade Q* NN-ELT

Parte II O Problema do N-Corpos: modelo matemático, aplicações, resultados teóricos: integrabilidade e singularidades. Resolução Numérica: abordagens, métodos e algoritmos

O Problema dos N-Corpos Enunciado Consideremos um sistema com N massas pontuais com posições e velocidades conhecidas num certo instante to. A massas interagem de acordo com a Lei de Newton. Quais são as posições e as velocidades de cada massa num instante arbitrário t ?

O Problema dos N-Corpos Sistemas (Astro)físicos Mecânica Celeste (N<10) Dinâmica Estelar (N>10) “Desenho” de trajectórias M15 - Enxame Globular http://www.seds.org

O Problema dos N-Corpos Formulação Matemática Lei de Newton da Gravitação para um Sistemas de Partículas Sistema de 3N equações diferenciais de 2ª ordem Sistema de 6N equações diferenciais de 1ª ordem Aproximações: • Massas pontuais • Dinâmica de Newton

O Problema dos N-Corpos Integrabilidade & Singularidades

O Problema dos N-Corpos Resolução Numérica: Sistemas (Astro)Físicos Número de partículas do sistema esforço computacional estrutura de dados Dinâmica que se pretende reproduzir resolução espacial relevância das colisões Processos/características a considerar: perda de massa por evolução estelar espectro de massa formação de binários campo externo etc...

O Problema dos N-Corpos Resolução Numérica: Abordagens Sistemas colisionais Sistemas não-colisionais M8 Enxame Aberto NGC6530 http://www.seds.org M31 Andrómeda (M32 M110) http://www.seds.org

O Problema dos N-Corpos Resolução Numérica: Métodos/Modelos

O Problema dos N-Corpos Resolução Numérica: Método PP Resolução Espacial: não se introduz qualquer discretização do espaço (e.g. métodos partícula-malha: PM) Precisão Numérica: interacção “todos-com-todos” não se introduzem aproximações no cálculo da força sobre cada partícula (e.g. métodos PM, P3M e hierárquicos) Hipóteses de Trabalho: Nenhumas ! (e.g. isotropia, simetria) Inclusão de Processos Físicos Sem dificuldade: (e. g. termos adicionais nas equações do movimento)

O Problema dos N-Corpos Resolução Numérica: Algoritmos Integrador baseado no método PP Rotina RK78, C. Simó. Definição de binários num sistema de N-corpos Regularização (IO, LC, KS) Regularização “Múltipla” heurística baseada em regularizações binárias encadeadas.

O Problema dos N-Corpos Resolução Numérica: Programa NNEWTON Esforço computacional !! Proporcional a N2. Consequência Limita as dimensões dos sistemas simulados e/ou o tempo de simulação. TN/T32 N2.09 (=0.999) Computação Distribuida

Parte III O Problema da Instabilidade Exponencial Métricas de Avaliação: equações variacionais e expoentes de Lyapunov. Caso de Estudo: simulação de sistemas com N=4,8,16 Simulações Numéricas: sim ou não, que futuro?

O Problema da Instabilidade Exponencial Sistemas s e S=s+ (perturbado). Trajectórias no espaço de fases com divergência exponencial. Miller (1964), N  32. Duas questões importantes: Mecanismo físico: cooperativo, encontros binários, ambos? Qual a dependência da escala de tempo te com N e com tcr

Métricas de Avaliação Equações Variacionais Equações variacionais (1ª ordem): Variações (para cada partícula) Variação média (em cada iteração)

Métricas de Avaliação Expoentes de Lyapunov Medição da escala de tempo te que caracteriza a divergência de trajectórias Crescimento exponencial: Expoente característico de Lyapunov: Indicador Característico de Liapunov: (t: tempo de simulação) Escala de tempo:

Caso de Estudo Simulação Sistemas de 4/8/16-Corpos Condições iniciais: massas unitárias equilibrio virial (q=1) energia total E=-1 x1=10-6 Parâmetros de simulação ho=10-3 hmax=10-2 hmin=10-6 =10-6 t=100 N=4 NN-VIRIAL NNEWTON

Caso de Estudo Variações (N=4) Média Aritmética das Variações PROCVAR

Caso de Estudo Estimativa da escala de tempo te Relacionar os três parâmetros Supondo que existe uma relação do tipo “Ajuste” aos dados experimentais: A menor escala de tempo que uma perturbação pode apresentar será  = -1/2 (Miller, 1988).

Simulações Numéricas Sim ou Não, que Futuro? “Os resultados numéricos dão resultados consistentes porque são todos igualmente imprecisos”, Heggie (1991). Os resultados detalhados não têm significado. Abordagem estatística (um acto de “fé”): Várias simulações do mesmo sistema com parâmetros iniciais idênticos

Parte IV O Pacote NNEWTON Conclusões

O Pacote NNEWTON Resolução numérica do problema de N-corpos Integradores Sem regularização: NNEWTON1 Com regularização: NNEWTON31/2/3 Com regularização “múltipla”: NNEWTON51/2 Com equações variacionais: NNEWTON2 Com equações variacionais e regularização binária: NNEWTON41/2 Condições Iniciais NN-VIRIAL Ferramentas de Análise Determinação de soluções exactas (N=2): SOLEXACT2 Cálculo da energia e momento: NN-ELT Processamento de variacionais: PROCVAR

Conclusões Técnicas analíticas de regularização: Integradores: Regularização LC e KS (“standard”). Regularização InOut. Integradores: de N-Corpos: novo algoritmo; versões com regularização. para as Equações Variacionais. Resultados Numéricos: Encontros binários tratados com eficiência e “qualidade”. Possibilidade de simular sistemas de N-corpos onde ocorram encontros próximos (binários e múltiplos). Estimativas das escalas de tempo de crescimento da instabilidade exponencial.

Fim