GEOGEBRA NA SALA DE AULA Instrutores: Rodrigo Mendes (DMAT/UFPE) e Hugo Leonardo (DM/UFRPE). Coordenador do projeto: George Valença (DEINFO/UFRPE). Agosto/2014

Introdução

Geogebra é um aplicativo de matemática que combina conceitos de geometria e álgebra em uma única interface. Sua distribuição é livre (download e uso gratuitos). Como projeto, foi iniciado em 2001 com o objetivo de ser utilizado em ambiente de sala de aula.

Ele permite realizar construções geométricas com pontos, retas, segmentos, polígonos, etc., assim como inserir funções e alterar esses objetos dinamicamente. Equações e coordenadas também podem ser diretamente inseridas. Assim, o Geogebra reúne as ferramentas tradicionais de geometria com outras mais adequadas à álgebra e ao cálculo. Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/GeoGebra

Elementos básicos

Tela inicial

1. Menus

2. Visualização Aqui o usuário pode visualizar os objetos criados no Geogebra.

2. Visualização Além da janela de visualização inicial, existem outros tipos que podem ser acessados (i) na barra lateral à extrema direita ou (ii) na barra de menus.

3. Barra de ferramentas Grupos de objetos e ações disponíveis.

3. Barra de ferramentas

3. Barra de ferramentas

3. Barra de ferramentas

3. Barra de ferramentas Daremos ênfase aos seguintes recursos:

3. Barra de ferramentas Daremos ênfase aos seguintes recursos:

4. Campo de entrada Aqui podemos definir objetos como funções e pontos, além de realizar comandos algébricos. Clicando no botão com a letra alfa, é possível inserir símbolos matemáticos.

5. Janela de Álgebra Nessa janela, podem ser visualizadas fórmulas e objetos matemáticos inseridos no campo de visualização.

Exercícios

Motivação Os exercícios a seguir exploram os recursos do Geogebra e foram definidos com base na lista de assuntos de Matemática nos quais os alunos da Escola Jarbas Passarinho possuem mais dificuldades.

Exercício 1 – definição Demonstração do cálculo da área de um: Paralelogramo Triângulo Losango Trapézio Assunto: Geometria Plana (apoio para ensino da Geometria Espacial);

Exercício 1 – passo a passo Criar os polígonos. Dica: construir o paralelogramo fracionado em 1 quadrado e 2 triângulos. Partindo da área do retângulo, fazer as manipulações necessárias para concluir a demonstração.

Exercício 1 – resultados b) c) d)

Exercício 1 – resultados b) c) d)

Provar o Teorema de Pitágoras através do uso de áreas. Exercício 2 – definição Provar o Teorema de Pitágoras através do uso de áreas. Assunto: Relações Métricas no Triângulo retângulo

Exercício 2 – passo a passo Prova I Construir um quadrado composto de outros dois quadrados menores de lados b e c, e quatro triângulos; Retirar os dois quadrados e alterar a posição dos triângulos. Prova II Construir um trapézio de altura b + c, de base menor b e base maior c; Calcular a área do trapézio; Igualar a área do trapézio à área das figuras que o compõem.

Exercício 2 – resultado

Provar: a) Lei dos Senos Exercício 3 – definição Provar: a) Lei dos Senos Assunto: Lei do seno e do cosseno

Exercício 3 – passo a passo Lei dos Senos Definir triângulo inscrito, seno, ângulo inscrito e ângulos que determinam arcos; Criar um triângulo inscrito. Por um determinado vértice, traçar o diâmetro e projetar outro triângulo como na figura a seguir. Nos outros vértices o processo é semelhante.

Exercício 3 – resultado

Outras formas de calcular a área de um triângulo: Exercício 4 – definição Outras formas de calcular a área de um triângulo: Em termos de dois de seus lados e o seno do ângulo localizado entre eles; Do semi-perímetro e do raio inscrito. Assunto: Geometria Plana (apoio ao ensino da Geometria Espacial).

Exercício 4 – passo a passo Definir seno, lei dos senos, polígono inscrito e circunscrito, área, perímetro e semi-perímetro. Criar os casos. a) Utilizar altura em termo do seno b) Utilizar definição de área e de semi-perímetro.

Exercício 4 – resultado

Provar fórmula de ângulos internos de um polígono regular Exercício 5 – definição Provar fórmula de ângulos internos de um polígono regular Assunto: Geometria Plana (apoio ao ensino da Geometria Espacial).

Exercício 5 – passo a passo Definir ângulos internos e polígonos regulares. Criar polígonos regulares Dividir os polígonos regulares em triângulos isósceles com a base correspondente aos lados dos polígonos regulares.

Exercício 5 – resultado

Provar ângulos notáveis. Exercício 6 – definição Provar ângulos notáveis. Assunto: Relações Métricas no Triângulo retângulo

Exercício 6 – passo a passo Definição de Seno, Cosseno e Tangente. Definição das propriedades de um triângulo equilátero. Criação de triângulos especiais. Triângulo a partir da altura de um triângulo equilátero. Triângulo a partir da diagonal de um quadrado. Calculo do Seno, Cosseno e Tangente.

Exercício 6 – resultado

Razões trigonométricas na circunferência. Exercícios 7 e 8 – tema Razões trigonométricas na circunferência. Assunto: Trigonometria no ciclo

Exercícios 7 e 8 – resultado

Construção de: Cosseno, Seno e Tangente. Exercício 7 – definição Construção de: Cosseno, Seno e Tangente.

Exercício 7 – passo a passo Cosseno Criar o círculo trigonométrico Criar triangulo retângulo com um vértice no círculo, outro no centro e o último na reta perpendicular ao eixo X que passa pelo vértice na circunferência, nomeando esse ponto de cosseno.

Exercício 7 – resultado

Exercício 7 – passo a passo Seno Criar o círculo trigonométrico Criar triangulo retângulo com um vértice no círculo, outro no centro e o último na reta perpendicular ao eixo Y que passa pelo vértice na circunferência, nomeando esse ponto de seno.

Exercício 7 – resultado

Exercício 7 - passo a passo Tangente Criar o círculo trigonométrico Criar triangulo retângulo com um vértice no círculo, outro no centro e o último na reta perpendicular ao eixo Y que passa pelo vértice na circunferência. Criar a reta que passa tangente à circunferência no ponto P(1,0) Prologar o segmento centro-vértice na circunferência até a reta tangente e nomear o segmento apropriado de tangente.

Exercício 7 – resultado

Construção de: Cossecante, Secante e Cotangente. Exercício 8 – definição Construção de: Cossecante, Secante e Cotangente.

Exercício 8 – passo a passo Secante e Cossecante Criar o círculo trigonométrico; Criar triangulo retângulo com um vértice no círculo, outro no centro e o último na reta perpendicular ao eixo Y que passa pelo vértice na circunferência; Criar a reta tangente à circunferência no vértice do triângulo retângulo; O ponto de intersecção dessa reta tangente com a reta OY nomeamos cossecante e com a reta OX nomeamos secante.

Exercício 8 – passo a passo Cotangente Criar o círculo trigonométrico; Criar triangulo retângulo com um vértice no círculo, outro no centro e o último na reta perpendicular ao eixo Y que passa pelo vértice na circunferência; Criar a reta que passa tangente à circunferência no ponto P(0,1); Prologar o segmento centro - vértice na circunferência até a reta tangente, nomeando o segmento apropriado de cotangente.

Exercício 8 – resultado

Exercício 8 – resultado

Exercício 9 – definição Explicar variações numa função afim, quando alterados o coeficiente angular a ou o coeficiente linear b, e numa função quadrática, quando se alteram os valores de a, b, c.

Exercício 9 – passo a passo Definir a função que será criada; Criar, dependendo da função, dois ou três controles deslizantes; Criar a função desejada; Mostrar a mudança nas variáveis, quando alterado o controle deslizante.

Exercício 9 – resultado

Gráfico da função logarítmica a partir da função exponencial Exercício 10 – definição Gráfico da função logarítmica a partir da função exponencial Assunto: Função Logarítmica e Exponencial

Exercício 10 – passo a passo Criar a reta y = x Criar o controle deslizante “a” no intervalo desejado. Criar a função exponencial f(x) = a^x Obs.: Com a variação do controle deslizante podemos mostrar o gráfico de vários exemplos da função logarítmica.

Exercício 10 – resultado Caso a > 1

Exercício 10 – resultado Caso 0 < a < 1

Exercício 11 Simetria. Assunto: Simetrias

Exercício 11 – definição Definições: Rotação Translação Reflexão Simetria axial

Exercício 11 – passo a passo Rotação Criar o polígono e o ponto que se deseja rotacionar; Rotacionar o polígono através da barra de ferramentas. Translação Criar o polígono e o vetor tomado como base; Transladar através da barra de ferramentas. Reflexão Criar o polígono, as retas e/ou o ponto que será tomado como referência; Refletir através da barra de ferramentas.

Exercício 11 – passo a passo Simetria axial Criar o objeto e a reta que será tomada como base; Refletir o objeto utilizando a barra de ferramentas. Simetria radial (criação da estrela) Criar o quadrilátero BHID’’; Criar ângulos com amplitude fixa de 72º e retas correspondentes; Refletir o objeto utilizado a barra de ferramentas.

Exercício 11 – resultado Rotação.

Exercício 11 – resultado Translação.

Exercício 11 – resultado Reflexão.

Exercício 11 – resultado Simetria axial.

Exercício 11 – resultado Simetria radial.

GEOGEBRA NA SALA DE AULA Instrutores: Rodrigo Mendes (DMAT/UFPE) – rodrigoftbmendes@gmail.com Hugo Leonardo (DM/UFRPE) – obny.hugo@gmail.com Coordenador do projeto: George Valença (DEINFO/UFRPE) – georgevalenca@deinfo.ufrpe.br Agosto/2014