Álgebra Linear e Geometria Analítica 6ª aula

DETERMINANTES

Permutações Uma permutação = ( p1, p2, p3, … , pn) dos elementos do conjunto {1, 2, 3, … , n} é um arranjo dos n números em alguma ordem sem repetições ou omissões

EXEMPLO: = ( 6, 1, 4, 5, 3, 2) é uma permutação dos elementos do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}

EXEMPLO: = ( 1, 2, 3, 4, 5, 6) é a permutação identidade dos elementos do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Paridade de uma permutação Número de trocas de dois elementos que é necessário efectuar para voltar a pôr os números por ordem. Permutação par  número de trocas par Permutação ímpar  número de trocas ímpar

Como determinar a paridade rapidamente? Para cada elemento contam-se os números menores que ele que ficam depois dele.

Como determinar a paridade rapidamente? Para cada elemento contam-se os números menores que ele que ficam depois dele. Exemplo:  = (4, 1, 3, 2)

Como determinar a paridade rapidamente? Para cada elemento contam-se os números menores que ele que ficam depois dele. Exemplo:  = (4, 1, 3, 2) 4: 1, 3, 2  3 1:  0 3: 2  1 2:  0

Como determinar a paridade rapidamente? Para cada elemento contam-se os números menores que ele que ficam depois dele. Exemplo:  = (4, 1, 3, 2) 4: 1, 3, 2  3 1:  0 3: 2  1 2:  0 (3+0+1+0) = 4

Como determinar a paridade rapidamente? Para cada elemento contam-se os números menores que ele que ficam depois dele. Exemplo:  = (4, 1, 3, 2) 4: 1, 3, 2  3 1:  0 3: 2  1 2:  0 (3+0+1+0) = 4  é par

Sinal de uma permutação

Exemplos: = (6, 5, 3, 1, 2, 4) paridade: 5 + 4 + 2 + 0 + 0 + 0 = 11 sgn() = -1  = (1, 3, 2, 4, 6, 5) paridade = 0 + 1 + 0 + 0 + 1 + 0 = 2 sgn() = +1

Produtos elementares: A é uma matriz quadrada nn Chama-se produto elementar da matriz A a um produto de n entradas da matriz A que contenha uma entrada de cada linha e de cada coluna de A. a1p1  a2p2  a3p3  …  anpn

Exemplos: = (6, 5, 3, 1, 2, 4) Produto elementar correspondente: a16  a25  a33  a41  a52  a64  = (1, 3, 2, 4, 6, 5) a11  a23  a32  a44  a56  a65

Produtos elementares assinalados: A é uma matriz quadrada nn Chama-se produto elementar assinalado da matriz A a um produto elementar com o sinal da permutação correspondente: sign()a1p1  a2p2  a3p3  …  anpn Com  = (p1, p2, …, pn )

Exemplos: = (6, 5, 3, 1, 2, 4) Produto elementar assinalado correspondente: - a16  a25  a33  a41  a52  a64  = (1, 3, 2, 4, 6, 5) + a11  a23  a32  a44  a56  a65

Determinante de uma matriz: Determinante da matriz A é a soma de todos os produto elementares assinalados de A. Representa-se por det(A) ou por |A|

Matrizes 22 a11a22 (1, 2) par a12a21 (2, 1) ímpar - a12a21 Produto elementar Permutação associada Paridade Produto elementar assinalado a11a22 (1, 2) par a12a21 (2, 1) ímpar - a12a21

Matrizes 22 det(A) = a11a22 - a12a21 a11a22 (1, 2) par a12a21 Produto elementar Permutação associada Paridade Produto elementar assinalado a11a22 (1, 2) par a12a21 (2, 1) ímpar - a12a21 det(A) = a11a22 - a12a21

Matrizes 33 a11a22a33 (1, 2, 3) par + a11a22a33 a12a23a31 Produto elementar Permutação associada Paridade Produto elementar assinalado a11a22a33 (1, 2, 3) par + a11a22a33 a12a23a31 (2, 3, 1) + a12a23a31 a13a21a32 (3, 1, 2) + a13a21a32 a13a22a31 (3, 2, 1) ímpar - a13a22a31 a12a21a33 (2, 1, 3) - a12a21a33 a11a23a32 (1, 3, 2) - a11a23a32

Matrizes 33 det(A) = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – Produto elementar Permutação associada Paridade Produto elementar assinalado a11a22a33 (1, 2, 3) par + a11a22a33 a12a23a31 (2, 3, 1) + a12a23a31 a13a21a32 (3, 1, 2) + a13a21a32 a13a22a31 (3, 2, 1) ímpar - a13a22a31 a12a21a33 (2, 1, 3) - a12a21a33 a11a23a32 (1, 3, 2) - a11a23a32 det(A) = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – – a13a22a31 – a12a21a33 – a11a23a32

Determinantes de matrizes especiais Se A é diagonal: det(A) = a11  a22  …  ann

Determinantes de matrizes especiais Se A é diagonal: det(A) = a11  a22  …  ann Em particular: det(I) = 1 det(O) = 0

Determinantes de matrizes especiais Se A é diagonal: det(A) = a11  a22  …  ann Em particular: det(I) = 1 det(O) = 0 Se A é escalar e o elemento da diagonal é k então: det(A) = kn

Determinantes de matrizes especiais Se A é triangular (superior ou inferior): det(A) = a11  a22  …  ann

Propriedades dos determinantes: det(A) = det(AT) Se A tem uma linha (ou coluna) nula então det(A) = 0 Se A’ é obtida de A trocando 2 linhas (ou colunas) então det(A’) = - det(A) Se A tem duas linhas (ou colunas) iguais então det(A) = 0

Propriedades dos determinantes: Se A’ é obtida de A multiplicando uma linha (ou coluna) de A por  então det(A’) =  det(A) Se A tem uma linha (ou coluna) múltipla doutra então det(A) = 0 det(A) = n det(A)

Propriedades dos determinantes: Se L1, …, Li, …, Ln são as linhas de A e Li = L’i + L’’i então det(A) = det + det

Propriedades dos determinantes: A mesma propriedade para as colunas det(AB) = det(A) det(B) A é invertível se e só se det(A)  0 (e se e só se car(A) = n) Se A é invertível então det(A-1)=

Efeitos das operações elementares no determinante: Operações tipo I Trocando duas linhas o determinante muda o sinal EXEMPLO

Efeitos das operações elementares no determinante: Operações tipo II Multiplicar uma linha por um escalar não nulo EXEMPLO

Efeitos das operações elementares no determinante: Operações tipo III Adicionar a uma linha outra multiplicada por um escalar EXEMPLO

Cálculo do determinante por condensação da matriz:

Cálculo do determinante pelo teorema de Laplace: Chama-se Menor (i,j) da matriz A ao determinante da matriz que se obtém de A retirando a linha i e a coluna j. Representa-se por Aij Chama-se Complemento Algébrico de aij ao número (-1)i+j Aij e representa-se por

EXEMPLO

Teorema de Laplace Para cada linha k: Para cada coluna j:

Observações O Teorema de Laplace determina o determinante de uma matriz de ordem n através do cálculo de determinantes de ordem n-1; Deve-se escolher a linha ou coluna com mais zeros; Usar primeiro operações elementares sobre linhas para obter uma coluna com mais zeros e só depois o Teorema de Laplace sobre essa coluna.

EXEMPLO:

EXEMPLO:

EXEMPLO:

EXEMPLO:

EXEMPLO:

EXEMPLO:

EXEMPLO:

Inversa de uma matriz usando determinantes Matriz dos co-factores ou dos complementos algébricos: Matriz adjunta da matriz A: Matriz inversa de A:

EXEMPLO:

EXEMPLO:

EXEMPLO:

EXEMPLO:

Regra prática para determinantes 33

Regra prática para determinantes 33

Regra prática para determinantes 33

Regra prática para determinantes 33