Equações Homogéneas Vitor Maló Machado I. S. T., Maio de 2011

Equação fundamental A equação fundamental do problema da propagação guiada no domínio da frequência a duas dimensões com a forma da equação de Helmoltz - formulação em termos do potencial de Hertz De modo que a componente axial do vector de Hertz é dada por

Valores e vectores próprios - propriedades A equação fundamental anterior é uma equação homogénea em que l corresponde aos valores próprios do operador L=lap. As soluções da equação fundamental correspondem às funções próprias associadas aos valores próprios l. Propriedade 1: Se o operador L é hermiteano, então o sistema de funções próprias é completo e pode ser ortonormal com valores próprios, l, reais (positivos se o operador for definido negativo e negativos se o operador for definido positivo) [F. Gantmacher, “The Theory of Matrices”, Vol. 1, Chelsea Publishing Company, New York, 1977]. Verifique que o operador L é um operador definido negativo, tomando condições de fronteira do tipo de Dirichlet ou de Neumann homogéneas

Propriedade 2: Dada a equação diferencial homogénea em que L e M são operadores auto-adjuntos e M é definido positivo, então a função f(1), como o mesmo domínio V que f, que minimiza o quociente (quociente de Rayleigh): é uma função própria da equação dada que satisfaz as mesmas condições de fronteira que f em SV. O valor mínimo l1 é o correspondente valor próprio. Se for imposta a condição de ortogonalidade então a solução da equação dada, com a restrição anterior, f(2),é ainda uma função própria satisfazendo as mesmas condições de fronteira e o valor mínimo l2 é o correspondente valor próprio.

Em conclusão: os sucessivos problemas variacionais correspondentes à minimização do quociente de Rayleigh com as restrições (problema de mínimos condicionados) definem as funções próprias f(l) da equação dada com as mesmas condições de fronteira, sendo os correspondentes valores próprios ll os mínimos do quociente de Rayleigh de tal forma que e são positivos se o operador L for hermiteano definido negativo. [R. Courant, D. Hilbert, “Methoods of Mathematical Physics”, Vol. I, Interscience publishers, Inc., New York, 1953, Cap. VI.] Formulação variacional: e sendo L e M operadores auto-adjuntos, vem:

Forma Fraca do quociente de Rayleigh A forma fraca para o quociente de Rayleigh vem Tendo em conta que as condições de estacionariedade correspondem a fazer

Formulação Matricial do Problema de Valores Próprios As condições anteriores são equivalentes a e sendo D uma forma quadrática definida positiva, obtem-se a condição Na forma matricial vem

Determinação dos Valores Próprios A equação anterior corresponde a impor-se Os valores de l são os valores próprios e a correspondente matriz coluna (C*) é o vector próprio. Sendo [M] definida positiva existirão N valores próprios se o problema é de dimensão N ([Gantmacher]). A formulação variacional, adoptando o método de Rayleigh-Ritz, conduz a um problema de valores próprios de equações matriciais. No caso presente as matrizes [L] e [M] são definidas positivas e, portanto, os valores próprios, l=k2-b2, são reais positivos. Os valores próprios possíveis correspondentes aos modos de propagação – vectores próprios – satisfazem a relação b2>=0:

Modos TE e TM As soluções para os modos TE e TM são distintas pois as condições de fronteira são distintas. Para o modo TM constituindo uma condição essencial para a formulação adoptada. Para o modo TE constituindo uma condição natural.