Capítulo 2 - Derivadas No final do capítulo 1, já definimos o coeficiente angular de uma curva y = f(x) no ponto onde x = x0. Chamamos esse limite, quando ele existia, de derivada de f em x0. Agora estudaremos a derivada como uma função derivada de f, considerando o limite em cada ponto do domínio de f. Definição de Derivada – Função Derivada A derivada de uma função f(x) em relação à variável x é a função f´ cujo valor em x é: desde que o limite exista.

Calculando f´(x) a partir da Definição de Derivada 1) Escreva expressões para f(x) e f(x + h). 2) Desenvolva e simplifique o quociente de diferença 3) Usando o quociente simplificado, encontre f´(x) calculando o Limite:

Exemplo 1 – Aplicando a Definição Encontre a derivada de e 1) e 2) 3)

Regra 1 – Derivada de uma Função Constante Se f tem o valor constante f(x) = c, então Exemplo 2 – Usando a Regra 1 Se f tem o valor constante f(x) = 8, então De maneira similar, e

Regra 2 – Regra de Derivação para Potências Inteiras Positivas Se n for um positivo inteiro, então Regra 3 – Regra da Multiplicação por Constante Se u é uma função derivável de x e c é uma constante, então

Exemplo 4 – Usando a Regra 3 Interpretação: Multiplicando-se cada ordenada por 3 para obter outra escala no gráfico y = x2, multiplica-se o coeficiente angular em cada ponto por 3. (b) Um caso especial útil: a derivada da oposta de uma função derivável é a oposta da derivada da função. A Regra 3 com c = - 1 fornece

Regra 4 – Regra da Derivada da Soma Se u e v são funções deriváveis de x, então a soma das duas u + v é derivável em qualquer ponto onde ambas são deriváveis. Nesses pontos, Exemplo 5 – Derivada de uma Soma

Derivável em um Intervalo; Derivadas Laterais Uma função y = f(x) será derivável em um intervalo aberto (finito ou infinito) se tiver uma derivada em cada ponto do intervalo. Será derivável em um intervalo fechado [a, b] se for derivável no interior (a, b) e se os limites Derivada à direita em a Derivada à esquerda em b existirem nas extremidades.

Derivadas à direita e à esquerda podem ser definidas em qualquer ponto do domínio de uma função. A relação usual entre limites laterais e bilaterais vale para essas derivadas. Uma função terá uma derivada em um ponto se e somente se tiver derivadas à direita e à esquerda nesse ponto e se essas derivadas laterais forem iguais. Exemplo 8 – y = | x | Não é Derivável na Origem Mostre que a função y = | x | é derivável em e , mas não tem derivada em x = 0. Solução À direita da origem, À esquerda

É possível que não haja derivada na origem porque lá as derivadas Laterais são diferentes: Derivada de | x | à direita em zero: Derivada de | x | à esquerda em zero:

Teorema 1 – Diferenciabilidade (Derivabilidade) Implica Continuidade Se f tem uma derivada em x = c, então f é contínua em x = c. Teorema 2 – Propriedade do Valor Intermediário para Derivadas Se a e b são dois pontos quaisquer de um intervalo em que f é derivável, então f´ assume qualquer valor entre f´(a) e f´(b).

Como ler os símbolos de derivadas: “y linha” “y duas linhas” “d dois y d x dois” “y três linhas” “n” ou “a derivada enésima de y” “d n y d x n”

A derivada da função seno é a função cosseno Exemplo 1 – Derivadas Envolvendo Seno (a) (b)

A derivada da função cosseno é a oposta da função seno Exemplo 2 – Revendo as Regras da Derivada (a) (b)

Derivadas de Outras Funções Trigonométricas Básicas

Exemplo 5 – Derivadas da Função Tangente Encontre d(tg x)/d x Solução