Logaritmos Prof. Jorge

Qual é o tempo? Giovanna ganhou 1 000 reais de seu pai pra fazer sua festa de 15 anos. Ao receber o dinheiro, no entanto, resolveu abri mão da festa. É que ela queria comprar um computador. Mas havia um problema: o computador que ela queria custava 1 500 reais. O jeito era aplicar o dinheiro que tinha, até conseguir o valor necessário. Prof. Jorge

Qual é o tempo? Giovanna foi ao banco e conseguiu uma taxa de 5 % ao mês, capitalizados mensalmente. Chegando em casa, ficou curiosa. Em quanto tempo os 1000 reais aplicados se transfor-mariam nos 1500 reais de que precisava? Ela havia acabado de aprender a calcular juros compostos. Fez, então, as suas contas. Prof. Jorge

Veja os cálculos Capital aplicado: C = 1 000 Taxa: 5 % ao mês = 0,05 ao mês Montante pretendido: M = 1 500,00 M = C.(1 + i)t ⇒ 1 500 = 1 000 . (1,05)t 1,057 ≈ 1,407 1,058 ≈ 1,477 1,059 ≈ 1,551 ⇒ 1,05t = 1,5 Giovanna concluiu, portanto, que seu objetivo seria atingido no final do 9º mês de aplicação. Prof. Jorge

Qual é o expoente? Como poderia ser obtido, com uma aproximação razoável e sem utilizar o método das tentativas, o valor de t na equação 1,05t = 1,6? A teoria dos logaritmos é muito útil em problemas como esse, que envolve a determinação de um expoente. Prof. Jorge

História A invenção dos logaritmos ocorreu no início do século XVII e é creditada ao escocês John Napier e ao suiço Jobst Burgi. Inicialmente seu objetivo era simplificar os cálculos numéricos, principalmente em problemas ligados à Astronomia e à Navegação. A partir dessa fabulosa invenção, tornaram-se mais simples e mais ágeis cálculos de expressões como Prof. Jorge

História A partir dessa fabulosa invenção, tornaram-se mais simples e mais ágeis cálculos de expressões como 2,382,5 . √12,4 3 5,13,8 O valor dessa expressão equivale ao valor de 102,5.log 2,38 + (1/3).log 12,4 – 3,8.log 5,1 Prof. Jorge

História Foi o matemático inglês Henry Briggs (1561 – 1631) quem propôs, inicialmente, a utilização do sistema de logaritmos decimais. Afinal, o nosso sistema de numeração utiliza justamente a base 10. Prof. Jorge

História Atualmente, são inúmeras as aplicações tecnológicas dos logaritmos. Eles são úteis, por exemplo, na resolução de problemas que envolvem desintegração radiotiva, o crescimento de uma população de animais ou bactérias, etc. Prof. Jorge

Trabalhando com potências de base 10 Prof. Jorge

A base 10 Todo número positivo pode ser escrito como uma potência de base 10, ou como uma aproximação dessa potência. Veja os exemplos: 1 = 100 0,1 = 10–1 10 = 101 0,01 = 10–2 100 = 102 0,001 = 10–3 1 000 = 103 0,0001 = 10–4 10 000 = 104 0,00001 = 10–5 Prof. Jorge

A base 10 Na maioria dos casos, torna-se difícil escrever um número como potência de base 10. Em valores aproximados apresentamos os exemplos: 2 = 100,301 3 = 100,477 7 = 100,845 11 = 101,041 13 = 101,114 Prof. Jorge

Exemplos Usando as igualdades 2 = 100,301 e 3 = 100,477, escreva os números 4, 5 e 6 como potência de base 10. 4 = 22 = (100,301)2 = 100,602 10 10 5 = = = 101 – 0,301 = 100,699 2 100,301 6 = 2.3 = 100,301 . 100,477 = 100,301 + 0,477 = 100,778 Prof. Jorge

Exemplos Usando as igualdades 2 = 100,301 e 3 = 100,477, escreva o número 60 como potência de base 10. 60 = 2.3.10 = 100,301 . 100,477 . 10 ⇒ 60 = 100,301 + 0,477 + 1 ⇒ 60 = 101,778 Prof. Jorge

Exemplos Usando as igualdades 2 = 100,301 e 3 = 100,477, resolva a equação exponencial 2x = 12. 2x = 12 ⇒ 2x = 22.3 ⇒ (100,301)x = (100,301)2 . 100,477 ⇒ 100,301.x = 100,602 . 100,477 ⇒ 100,301.x = 101,079 ⇒ 0,301.x = 1,079 1,079 ⇒ x = ⇒ x ≈ 3,585 0,301 Prof. Jorge

Logaritmo como expoente Prof. Jorge

Logaritmo como expoente O conceito de logaritmo está associado à operação potenciação: mais precisamente à determinação do expoente. Veja: 2x = 8 ⇒ x = 3 No caso, dizemos, que o logaritmo de 8, na base 2 , é igual ao expoente 3. Em símbolos, log2 8 = 3 Prof. Jorge

Logaritmo como expoente Observe: calcular o log2 8 é descobrir o expoente ao qual se deve elevar a base 2, para obter, como resultado, a potência 8. Vale, portanto a equivalência: log2 8 = 3 ⇔ 23 = 8 Calcular um logaritmo é obter um expoente. Logaritmo é o mesmo que expoente. Prof. Jorge

Definição Suponhamos dois reais positivos a e b (a ≠ 1). Se ax = b, dizemos que x é o logaritmo de b na base a (simbolicamente loga b = x). loga b = x ⇔ ax = b a é a base; b é o logaritmando ou antilogaritmo; x é o logaritmo; Prof. Jorge

Exemplos log2 32 = 5, porque 25 = 32 log3 (1/81) = –4, porque 3–4 = 81 De acordo com a definição, calcular um logaritmo é descobrir o expoente, ou seja, resolver uma equação exponencial. Prof. Jorge

Exemplos Calcular log4 8. log4 8 = x ⇒ 4x = 8 ⇒ (22)x = 23 ⇒ 22x = 23 Prof. Jorge

Exemplos Calcular log1/3 √9. 5 x 1 log1/3 √9 = x 5 ⇒ √9 = 5 3 Prof. Jorge

Condição de existência do logaritmo Da definição, concluímos que o logaritmo só existe sob certas condições: loga b = x ⇔ b > 0 a > 0 a ≠ 1 Prof. Jorge

Condição de existência Analise quais seriam os significados de log2 (–4), log(–2) 8, log7 0, log1 6 e log0 2, caso fossem definidos. log2 (–4) = x ⇒ 2x = –4 impossível log–2 8 = x ⇒ (–2)x = 8 impossível log7 0 = x ⇒ 7x = 0 impossível log1 6 = x ⇒ 1x = 6 impossível log0 2 = x ⇒ 0x = 2 impossível Prof. Jorge

Observação Muitas vezes, um logaritmo envolve variáveis. Nesse caso, devemos analisar o domínio dessas variáveis. Para isso, usamos as condições de existência do logaritmo. Prof. Jorge

Exemplos Resolver a equação logx (2x + 8) = 2. ⇒ ⇒ 2x + 8 > 0 1o. Vamos analisar a condição de existência do logaritmo. 2x + 8 > 0 x > –4 x > 0 ⇒ ⇒ x > 0 x > 0 x ≠ 1 x ≠ 1 x ≠ 1 2o. Usando a definição de logaritmo. logx (2x + 8) = 2 ⇒ x2 = 2x + 8 ⇒ x2 – 2x – 8 = 0 ⇒ x = –2 ou x = 4. ⇒ S = {4} Prof. Jorge

Conseqüências da definição Prof. Jorge

Conseqüências da definição Admitindo-se válidas as condições de existência dos logaritmos, temos os seguintes casos especiais, que são conseqüências da definição. loga 1 = 0 porque a0 = 1 loga a = 1 porque a1 = a loga ak = k porque ak = ak Prof. Jorge

Exemplos log3 3 = log10 10 = log3,7 3,7 = 1 Prof. Jorge

Conseqüências da definição Sabemos que loga k é o expoente ao qual se deve elevar a base a para se obter k. Vale por isso, a seguinte igualdade: loga k a = k Prof. Jorge

Exemplos 5 = 3 2 = 21.2 = 2.6 = 12 9 = (32) = = 52 = 25 15 = = = 5 3 log5 3 5 = 3 1 + log2 6 log2 6 2 = 21.2 = 2.6 = 12 log3 5 log3 5 log3 5 2 9 = (32) = = 52 = 25 3 1 – log15 3 151 15 15 = = = 5 log15 3 3 15 Prof. Jorge

Sistema de logaritmos Prof. Jorge

Sistema de logaritmos log x → logaritmo decimal de x (base 10) Sistema de logaritmos é o conjunto de todos os logaritmos numa determinada base. Entre os infinitos sistema de logaritmos, destacam-se dois: O sistema de logaritmos decimais utiliza a base 10. No cálculo de logaritmos decimais, convenciona-se não escrever a base, ou seja, log x é o mesmo que log10 x. log x → logaritmo decimal de x (base 10) Prof. Jorge

Exemplos log 1000 = log10 1000 = 3 log 0,01 = log10 10–2 = –2 Prof. Jorge

Sistema de logaritmos Ln x → logaritmo natural de x (base e) O sistema de logaritmos naturais ou neperianos, utiliza, como base, o número irracional e. Esse número foi introduzido por Euler, em meados do século XVIII. Seu valor aproximado é e = 2,71828. O logaritmo natural de um número x pode ser indicado por Ln x. Ln x → logaritmo natural de x (base e) Prof. Jorge

Exemplos Ln e = loge e = 1 Ln 10 = loge 10 ≈ 2,3 Ln e3 = loge e3 = 3 Prof. Jorge

Observação Chama-se co-logaritmo de a na base b (em símbolos, cologb a) o oposto do logaritmo de a na base b. cologb a = – logb a colog2 8 = – log2 8 = –3 colog3 (1/9) = – log3 (1/9) = 2 Prof. Jorge

Logaritmos decimais Prof. Jorge

Logaritmos decimais O primeiro a utilizar os logaritmos decimais foi o matemático inglês Henry Briggs (1561-1631). Foi ele quem construiu a primeira tábua de logaritmos decimais. Prof. Jorge

Tábua de logaritmos decimais ou 101,114 = 13 n log n 1 11 1,041 21 1,322 31 1,491 2 0,301 12 1,079 22 1,342 32 1,505 3 0,477 13 1,114 23 1,362 33 1,519 4 0,602 14 1,146 24 1,380 34 1,531 5 0,699 15 1,176 25 1,398 35 1,544 6 0,778 16 1,204 26 1,415 36 1,556 7 0,845 17 1,230 27 1,431 37 1,568 8 0,903 18 1,255 28 1,447 ... 9 0,954 19 1,279 29 1,462 99 1,996 10 20 1,301 30 1,477 100 log 35 = 1,544 ou 101,544 = 35 Prof. Jorge

Exemplos Calcule os logaritmos decimais a) log 10 b) log 10 000 c) log 1013 d) log 10–30 e) log 0,000001 Prof. Jorge

Exemplos Consultando a tábua de logaritmos calcule a) log 60 + log 31 – log 5 b) 100,903 + 101,505 – 1000,69 c) os valores de x e y tais que 10x = 26 e 1000y = 15 Prof. Jorge

Exemplos Em valores aproximados, a tábua de logaritmos mostra que log 13 = 1,114 ou 101,114 = 13. A partir desses valores, sem uso de calculadora, obtenha os números seguintes. a) 102,114; 104,114; 100,114 e 1001,557. b) log 130; log 13000; log 1,3 e log 1300 c) os valores de x e y tais que 10x = 0,13 e 13y = 103,342. Prof. Jorge

Mudança de base Prof. Jorge

Mudança de base Observe uma calculadora científica. Ela permite o cálculo apenas dos logaritmos decimais (tecla log) e dos logaritmos naturais (tecla Ln). Como obter então, numa calculadora, logaritmos em outras bases? Será possível achar, por exemplo, os valores de log3 5 e log7 23? Prof. Jorge

Mudança de base Na tábua de logaritmos decimais, encontramos que log10 23 = 1,362 e log10 7 = 0,845. A partir deles, determine o valor log7 23. log10 23 = 1,362 ⇒ 101,362 = 23 log7 23 = log10 23 log10 7 log10 7 = 0,845 ⇒ 100,845 = 7 log7 23 = x ⇒ 7x = 23 ⇒ (100,845)x = 101,362 ⇒ 100,845.x = 101,362 1,362 ⇒ 0,845.x = 1,362 ⇒ x = = 1,612 0,845 Prof. Jorge

Fórmula de mudança de base De modo geral, podemos calcular logba, utilizando uma outra base k arbitrária. Para isso, dividimos o logaritmo de a pelo logaritmo de b, na base k escolhida. logk a Logb a = logk b Prof. Jorge

Exemplos Pela tecla Ln (logaritmo natural) de uma calculadora, obtemos Ln 6 = 1,792 e Ln 2 = 0,693. A partir desses valores, calcular log2 6. loge 6 Ln 6 1,792 log2 6 = = = = 2,586 loge 2 Ln 2 0,693 Prof. Jorge

Exemplos Resolver a equação 5x = 20, dados os logaritmos decimais log 5 = 0,699 e log 20 = 1,301. 5x = 20 ⇒ x = log5 20 log10 20 log 20 1,301 log5 20 = = = = 1,861 log10 5 log 5 0,699 Prof. Jorge

Exemplos Se logk x = 2, calcular logx (1/k). logk (1/k) –1 Prof. Jorge

Exemplos Se log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, calcular log2 3. log 3 0,48 1o. Vamos a fórmula de mudança de base. log 3 0,48 log2 3 = = = 1,6 log 2 0,30 Observe que, log2 3 = 1,6 ⇔ 21,6 = 3. Prof. Jorge

Exemplos Escrevendo os logaritmos numa mesma base, obtenha o valor mais simples do produto log2 7 . Log7 13 . Log13 2 1o. Vamos a fórmula de mudança de base. 1 1 1 log 7 log 13 log 2 . . = 1 log 2 log 7 log 13 1 1 1 Prof. Jorge

Conseqüência – mudança de base Compare os valores dos log5 25 e log25 5. Compare, também, os valores log2 8 e log8 2. Que conclusão se pode tirar dessas comparações? Se logx y = 3/5, calcule logy x. log5 25 = 2 e log25 5 = 1/2 log2 8 = 3 e log8 2 = 1/3 logb a = 1/loga b logy x = 5/3 Prof. Jorge

Generalizando Como conseqüência da fórmula de mudança de base, temos: loga a logb a = loga b 1 logb a = loga b Prof. Jorge

Propriedades dos logaritmos Prof. Jorge

Propriedades dos logaritmos O logaritmo tem uma particularidade importante. Ele transforma operações mais complicadas em operações mais simples. Com as propriedades dos logaritmos podemos transformar: multiplicações em adições; divisões em subtrações; potenciações em multiplicações; radiciações em divisões. Prof. Jorge

Logaritmo do produto Vamos calcular o valor do log 21, a partir dos valores de log 3 = 0,477 e log 7 = 0,845. log 3 = 0,477 ⇒ 100,477 = 3 log 7 = 0,845 ⇒ 100,845 = 7 log 21 = log (3.7) = log 3 + log 7 log 21 = x ⇒ 10x = 21 ⇒ 10x = 3.7 ⇒ 10x = 100,477.100,845 ⇒ 10x = 100,477 + 0,845 ⇒ x = 0,477 + 0,845 ⇒ x = 1,322 Prof. Jorge

Logaritmo do produto De modo geral, o logaritmo do produto de dois números, numa certa base, é a soma dos logaritmos desses números, na mesma base. Loga (x.y) = loga x + loga y Para o produto de três ou mais fatores, a propriedade continua válida. Prof. Jorge

Exemplos A partir de log 2 = 0,301 e log 13 = 1,114, calcular log 26 e log 2000. log 26 = log (2.13) = log 2 + log 13 log 26 = 0,301 + 1,114 = 1,415 log 2000 = log (2.1000) = log 2 + log 1000 log 2000 = 0,301 + 3 = 3,301 Prof. Jorge

Exemplos Sendo x e y reais positivos, decompor log3 (9xy) numa soma de logaritmos. log3 (9xy) = log3 9 + log3 x + log3 y log3 (9xy) = 2 + log3 x + log3 y Prof. Jorge

Exemplos Transformar num único logaritmo e calcular o valor da expressão log 4 + log 5 + log 50. log 4 + log 5 + log 50 = log (4.5.50) log 4 + log 5 + log 50 = log 1000 = 3 Prof. Jorge

Logaritmo do quociente Vamos calcular o valor do log (3/2), a partir dos valores de log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477. log 2 = 0,301 ⇒ 100,301 = 2 log 3 = 0,477 ⇒ 100,477 = 3 log (3/2) = log 3 – log 2 log (3/2) = x ⇒ 10x = 3/2 3 100,477 ⇒ 10x = = = 100,477 – 0,301 2 100,301 ⇒ x = 0,477 – 0,301 ⇒ x = 0,176 Prof. Jorge

Logaritmo do quociente De modo geral, o logaritmo do quociente de dois números, numa certa base, é a diferença dos logaritmos desses números, na mesma base. x Loga = loga x – loga y y Prof. Jorge

Exemplos A partir de log 2 = 0,301 obter log 5. 10 log 5 = log = 1 – 0,301 2 ⇒ log 5 = 0,699 Prof. Jorge

Exemplos Se x e y são reais positivos, decompor em parcelas log2 (x/4y). x log2 = log2 x – log2 4y 4y = log2 x – (log2 4 + log2 y) = log2 x – (2 + log2 y) = log2 x – 2 – log2 y = log2 x – log2 y – 2 Prof. Jorge

Exemplos Compor (transformar num único logaritmo) a expressão E = log m – log 3 + 2 – log n. 1º. Vamos transformar a parcela 2 na forma de logaritmo decimal. log 100 = 2. E = log m – log 3 + log 100 – log n E = (log m + log 100) – (log 3 + log n) E = (log 100m) – (log 3n) 100m E = log 3n Prof. Jorge

Logaritmo da potência Vamos calcular o valor do log 34, a partir do valor de log 3 = 0,477. log 3 = 0,477 ⇒ 100,477 = 3 log 34 = x ⇒ 10x = 34 ⇒ 10x = (100,477)4 ⇒ x = 4 . 0,477 ⇒ x = 1,908 log 34 = 4 . log 3 Prof. Jorge

Logaritmo da potência Generalizando, o logaritmo de uma potência, é igual ao produto do expoente da potência pelo logaritmo da base. Loga xk = k . loga x Prof. Jorge

Exemplos A partir do log 3 = 0,477, calcular log 0,009. 9 log 0,009 = log = log 9 – log 100 100 = log 32 – 2 = 2 . log 3 – 2 = 2 . 0,477 – 2 = 0,954 – 2 = – 1,046 Prof. Jorge

Exemplos Calcular log , a partir dos valores log 2 = 0,301, log 3 = 0,477 e log 13 = 1,114. 13√3 4 13√3 log = log 13 + log √3 – log 4 4 = log 13 + log 31/2 – log 22 1 = log 13 + . log 3 – 2 . log 2 2 = 1,144 + 0,5.0,477 – 2.0,301 = 1,144 + 0,2385 – 0,601 = 0,7505 Prof. Jorge

Exemplos Compor e simplificar a expressão E = 2.log3 12 – log3 8 – 2 1 1º. Vamos transformar a parcela 2 na forma de logaritmo de base 3. (log3 9 = 2). 1 E = 2.log3 12 – log3 8 + log3 9 3 E = log3 122 – log3 81/3 + log3 9 E = log3 144 – log3 2 + log3 9 = log3 144 – log3 (2.9) 144 E = log3 144 – log3 18 ⇒ E = log3 = log3 8 18 Prof. Jorge

Utilizando as propriedades dos logaritmos complete a tabela de logaritmos decimais. log n n log n n log n n log n 1 11 D 21 B + C 31 J 2 A 12 2A + B 22 A + D 32 5A 3 B 13 E 23 H 33 B + D 4 2A 14 A + C 24 3A + B 34 A + F 5 1 – A 15 1 + B – A 25 2(1 – A) 35 1–A + C 6 A + B 16 4A 26 A + E 36 2(A+B) 7 C 17 F 27 3B 37 K 8 3A 18 A + 2B 28 2A + C 38 A + G 9 2B 19 G 29 I 39 B + E 10 1 20 1 + A 30 1 + B 40 1 + 2A Prof. Jorge

Exemplos (FGV-RJ) A tabela abaixo fornece os valores dos logaritmos naturais (base e) dos números inteiros de 1 a 10. Ela pode ser usada para resolver a equação exponencial 3x = 24, encontrando-se, aproximadamente, x Ln x 1 0,00 6 1,79 2 0,69 7 1,95 3 1,10 8 2,08 4 1,39 9 2,20 5 1,61 10 2,30 2,1. 2,3. 2,5. 2,7 2,9 Prof. Jorge

Exemplos Se log 2 = a e log 3 = b, escreva o log2 72 em função de a e b. log 72 log 23.32 log2 72 = = log 2 log 2 log 23 + log 32 3.log 2 + 2.log 3 = = log 2 log 2 3a + 2b = a Prof. Jorge