Unidade 5 – Estudo de Funções Ensino Superior Matemática Básica Unidade 5 – Estudo de Funções Amintas Paiva Afonso

O conceito de função é um dos mais importantes em toda a Matemática.

A idéia de função… Toda vez que temos dois conjuntos e algum tipo de associação entre eles... que faça corresponder a todo elemento do primeiro conjunto um único elemento do segundo, ocorre uma função.

Em nosso dia-a-dia temos muitos exemplos de funções: O tempo de viagem é função, entre outras coisas, da distância percorrida. A altura de uma criança é função de sua idade; O consumo de combustível é função, entre outras coisas, da velocidade. Perímetro de um triângulo é função da medida de seus lados.

O conceito de função na história... René Descartes (1596-1650), filósofo e matemático francês porpôs a utilização de um sistema de eixos para localizar pontos e representar graficamente as equações. Galileu Galilei (1564-1642), astrônomo e matemático italiano iniciou o método experimental a partir do qual se pode estabelecer uma lei que descreve relações entre as variáveis de um fenômeno.

A função é um modo especial de relacionar grandezas. Duas grandezas x e y se relacionam de tal forma que: x pode assumir qualquer valor em um conjunto A dado. a cada valor de x corresponde um único valor y em um dado conjunto B. os valores que y assume dependem dos valores assumidos por x.

Temos várias maneiras para representar a idéia de função.

Representação gráfica No dia-a-dia utilizamos esse tipo de representação em vários setores.

Algumas funções especiais:

Produto Cartesiano A x B = { (x, y) | x  A e y  B} A = {1, 2}; B = {2, 3, 4} A x B = { (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4)}

Definição de função Uma função (ou aplicação) f é uma lei segundo a qual cada elemento x em um conjunto A está associado a exatamente um elemento, chamado f(x), em um conjunto B.

Definição de função através de conjuntos Não é função de A em B É função de A em B

Noção de função através de conjuntos Não é função de A em B É função de A em B

Domínio, Contradomínio e Conjunto-Imagem Im(f) D(f) = A CD(f) = B

Teste da reta vertical Para que uma curva num plano cartesiano seja gráfico de uma função y = f(x), nenhuma reta vertical deve interceptá-la mais de uma vez.

D = {x  IR| –3  x  4 e x  1} e Im = {y  IR| –2 < y  3} Domínio e imagem através do gráfico D = {x  IR| –3  x  4 e x  1} e Im = {y  IR| –2 < y  3}

Interpretação geométrica das raízes de uma função raiz Seja f uma função de A em B. Denominamos raiz (ou zero) da função f todo elemento de A para o qual temos f(x) =0.

CLASSIFICAÇÃO DE FUNÇÕES

FUNÇÃO INJETORA Ou seja, “x” diferente tem “y” diferente !!! A B É quando quaisquer dois elementos diferentes do conjunto A têm imagens diferentes no conjunto B. Ou seja, “x” diferente tem “y” diferente !!! A B -3 2 4 1 6 8

Teste da reta horizontal para verificar se uma função é injetora Uma função f(x) é injetora se nenhuma reta horizontal interceptar seu gráfico em mais de um ponto.

FUNÇÃO SOBREJETORA É quando o conjunto Imagem da função for igual ao conjunto contradomínio. (Im = CD) Se M é o conjunto das mulheres e H é o conjunto dos homens, então não se pode ter homem solteiro !!! M -1 1 3 1 9 H

FUNÇÃO BIJETORA Ou seja, homens e mulheres com os mesmos direitos !! M É uma função simultaneamente injetora e sobrejetora. Ou seja, homens e mulheres com os mesmos direitos !! Injetora: “x” diferente tem “y” diferente M H 1 5 9 -1 3 7 Sobrejetora: NÃO SOBRAM elementos no contra domínio.

Injeção, sobrejeção e bijeção a) b) É injetora. Não é sobrejetora Não é injetora. É sobrejetora

Injeção, sobrejeção e bijeção c) É injetora É sobrejetora  É bijetora

Testando seus conhecimentos 1) Classifique as funções como bijetora, sobrejetora, injetora ou ainda nenhuma delas: a) b) 1 2 3 4 6 1 2 3 4 5 6 7 é injetora é sobrejetora

não é sobrejetora, nem injetora é bijetora 2) Classifique as funções como bijetora, sobrejetora, injetora, ou ainda nenhuma delas: c) d) 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 não é sobrejetora, nem injetora é bijetora

3) Dada a função sobrejetora f : [2; 8]  B, tal que f(x) = x² – 8x +7, observe atentamente seu gráfico e determine seu domínio e imagem. y x 7 -5 2 4 8 -9 D(f) = [2;8] Im(f) = [-9;7]

FUNÇÃO CRESCENTE: a b f f(a) f(b) O a b f f(a) f(b) O a b g g(a) g(b) a b g g(a) g(b) A função f é crescente A função g é decrescente A função f é crescente A função g é decrescente Diz-se que f é crescente, se para a < b, então f(a) < f(b). Diz-se que g é decrescente, se a < b então g(a) > g(b).

6) A partir da análise do gráfico, determine os intervalos onde a função é: y x -2 2 4 6 Decrescente: ]0, 4[ b) Crescente: ]-∞ ; 0[ e ]4 ; +∞[

Função crescente e Função decrescente

Função crescente e Função decrescente

Função crescente e Função decrescente

Função Par f(x) = x4 – x2 GRÁFICO PARA x  0 GRÁFICO COMPLETO f(-x) = (-x)4 - (-x)2 = x4 – x2 = f(x) GRÁFICO PARA x  0 GRÁFICO COMPLETO Os gráficos das funções pares são simétricos em relação ao eixo das ordenadas.

Função ímpar Gráfico para x ³ 0

Função ímpar f(x) = x3 + x5 f(-x) = (-x)3 + (-x)5 = -(x3 + x5) = - f(x) Os gráficos das funções ímpares são simétricos em relação à origem do sistema cartesiano ortogonal.

FUNÇÃO PAR: FUNÇÃO ÍMPAR: f(x) = f(-x) y f(x) = x² Uma função é PAR quando ela é simétrica em relação ao eixo y. Exemplo: f(x) = x² é par pois 2² = (-2)² = 4 x FUNÇÃO ÍMPAR: f(x) = x³ f(a) = - f(-a) y Função ÍMPAR é simétrica em relação a origem. x Exemplo: f(x) = x³ é ímpar pois 2³ = - (-2)³

4) a) Verifique se f(x) = 2x³ + 5x é par ou ímpar: Primeiro vejamos que f(1) = 2.1³ + 5.1 = 7 Em seguida, vejamos f(-1) = 2.(-1)³ + 5.(-1) = -7 Logo f(x) = 2x³ + 5x é ÍMPAR, pois f(x) = - f(-x) ou seja, f(1) = - f(-1), pois 7 = - (-7) b) Mostre que f(x) = 3x² é par: Primeiro vejamos que f(1) = 3(1)² = 3 Em seguida, vejamos f(-1) = 3(-1)² = 3 Logo f(x) = x² é PAR, pois f(x) = f(-x) ou seja, f(1) = f(-1), pois 3 = 3

5) Sendo o gráfico ao lado de f(x), o gráfico de f(– x) será: Lembre-se: Se f(x) = f(-x) Então a função “f” é par e ela é simétrica ao eixo “y”. Resposta: E

Esquema para a composição de funções Sejam f e g duas funções quaisquer. Denomina-se função composta de g com f a função h definida por h(x) = g(f(x)).

FUNÇÃO INVERSA A idéia agora é entender que y = f(x) e seguir o seguinte procedimento: 1) Isola “x”; 2) Troca “x” por “y” e vice versa. x y D R f(x) f -1(x)

FUNÇÃO INVERSA O símbolo para a função inversa de f é f -1 e lê-se “função inversa de f”. O símbolo “–1” em f-1 não é um expoente; f-1(x) não significa 1/f(x).

FUNÇÃO INVERSA TESTE DA RETA HORIZONTAL Uma função f tem inversa se e somente se o gráfico da mesma for cortado apenas uma vez por qualquer reta horizontal. EXEMPLO: a função f(x) = x2 tem inversa? x y ou f(x) y = x2 ou f(x) = x2 2 -2 4 reta horizontal Conclusão: a função f(x) = x2 não tem inversa.

Simetria das funções inversas 1. 3. 7. . 3 . 7 . 15 f f -1 A B Os gráficos de f e f –1 são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares (reta y = x).