Amintas engenharia

Prof. Amintas Paiva Afonso Noções sobre Vetores Prof. Amintas Paiva Afonso

Noções sobre Vetores . :  x E Espaço Vetorial # Um conjunto E ( ) onde são definidas as seguintes operações: + : E x E E (x,y) composição interna + (x,y) := x + y . :  x E E (,y) composição externa  (,x) :=  . x

Noções sobre Vetores Espaço Vetorial Para x, y, z  E e ,   , temos as seguintes propriedades:   i)     x + y = y + x; ii)    x + ( y + z ) = ( x + y ) + z; iii)    0  E tal que: x + 0 = x x  E; iv)   Dado x  E, existe (-x)  E tal que: x + (-x) = 0; v)    (x) = ()x; vi)   (x + y) = x + y; vii)  (+)x = x + x; viii) 1.x = x x  E;

Noções sobre Vetores Espaço Vetorial Um conjunto que satisfaz essas propriedades é chamado de espaço vetorial real. (E, +, , ) é um quatérnio e E pode ser o próprio .

Noções sobre Vetores Espaço Vetorial Qualquer elemento de um espaço vetorial chama-se VETOR. Exemplos de espaços vetoriais: o conjunto os números reais; o conjunto dos números complexos; o conjunto dos vetores da geometria definidos por meio de segmentos orientados; o conjunto das matrizes Mmxn (), o espaço n; o espaço Cn, o conjunto dos polinômios reais de grau  n Pn(); o conjunto dos polinômios complexos Pn(C), etc.

Noções sobre Vetores Espaço Vetorial Para verificar que um determinado conjunto constitui um espaço vetorial devemos verificar se ele satisfaz cada uma das oito propriedades apresentadas.

Noções sobre Vetores Vetores Que coisas são essas? Um vetor é uma ficção, uma entidade criada para descrever “coisas” no mundo que têm direção e sentido. Que coisas são essas? o vento; o fluxo de H2O de um rio; a emissão puntiforme de luz; um campo elétrico; a velocidade de um trem bala; o movimento dos planetas (aliás, a teoria de Newton não explica por que os planetas se movem todos num mesmo sentido), etc.

Noções sobre Vetores Sistema de Coordenadas Para bem determinar a posição de um vetor é necessário a escolha de um sistema de coordenadas. Sistema de coordenadas retangulares ou cartesianas Define-se um sistema de coordenadas cartesianas quando é dada uma unidade linear para medir os comprimentos e dois eixos perpendiculares ordenados numa ordem qualquer. x y x’ y’ P(x,y) . O ponto P(x,y) significa que o ponto P tem por abscissa o nº x e por ordenada o n.º y.

Noções sobre Vetores Sistema de coordenadas polares Um sistema de coordenadas polares é definido quando se dá um ponto O, chamado pólo, uma semi-reta OA que parte desse ponto O, chamado eixo polar, e um segmento arbitrário com unidade de comprimento. Convém, nesse sistema, definir o sentido positivo de rotação em redor do ponto O. (Geralmente, é o sentido anti-horário). P  O A  Chama-se coordenadas polares de um ponto P qualquer aos números =OP e =ang AOP. O símbolo P(, ) significa que o ponto P tem coordenadas polares  e .

Noções sobre Vetores Passagem das coordenas polares para as coordenadas cartesianas Sejam (x,y) as coordenadas de um ponto no sistema de coordenadas cartesianas e (, ) as coordenadas de um ponto no sistema de coordenadas polares: x = . cos  y = . sen 

Noções sobre Vetores Representação gráfica Propriedades A representação gráfica de um vetor é a de uma flecha apontando para algum lugar. Propriedades -  direção; -  sentido; -  magnitude. Grandezas vetoriais: a aceleração, a velocidade e o deslocamento, força, etc. Grandezas escalares: a massa, o tempo e a temperatura, densidade, etc.

Noções sobre Vetores Representação simbólica Por convenção, para saber que estamos falando de vetores e não de variáveis ou outro ente matemático qualquer, designamos o vetor por uma letra e utilizamos uma flecha sobre a letra. Mas há outras maneiras de representar um vetor. Imagine, por exemplo, um vetor no plano:

Noções sobre Vetores Representação simbólica A sua origem e a sua extremidade podem ser associadas a pontos no plano xy. y2 y1 x2 x1 A X Y B Assim, o vetor acima pode ser representado como o segmento orientado e seu comprimento é dado por B – A. As coordenadas de A são (x1, y1) e as coordenadas de B são (x2, y2). Logo, o comprimento do vetor AB é dado por B – A = (x2 - x1 , y2 - y1)

Noções sobre Vetores Exemplo Seja = [2,2]. y2 y1 x2 x1 A X Y B (3,4) (1,2) Podemos associar a o segmento de reta orientado com ponto inicial A(1,2) e ponto final B(3,4). = B – A = (3-1, 4-2)=(2,2)

Noções sobre Vetores Operações com vetores Considere 2 vetores: e . A resultante + é obtida pela chamada “lei do paralelogramo”. Construímos um paralelogramo unindo a origem dos dois vetores e traçando retas paralelas a e a partir de suas extremidades.

Noções sobre Vetores Lei do paralelogramo A lei do paralelogramo foi idéia de Aristóteles quando este estudava a composição de forças no caso particular do retângulo.

Noções sobre Vetores Variações Mas, além da lei do paralelogramo, a soma de vetores pode ser obtida unindo-se a extremidade do primeiro vetor à origem do segundo.

Noções sobre Vetores Somando mais que dois vetores

Noções sobre Vetores Exemplo: 1.ª coordenada 2.ª coordenada Em termos de suas coordenadas, a soma se dá componente a componente: Definição:Sejam e dois vetores no plano. A soma dos vetores e é o vetor . Exemplo: Sejam e então, 1.ª coordenada 2.ª coordenada

Noções sobre Vetores Exemplo: Interpretação geométrica

Noções sobre Vetores Diferença de vetores Representamos o vetor + (-1) por . Esse vetor é a diferença de e .

Noções sobre Vetores Produto de um vetor por um escalar Considere que o vetor tem a magnitude de uma unidade. Se multiplicarmos esse vetor por um número real qualquer, por exemplo, 3, o vetor tem sua magnitude aumentada para 3 unidades. A direção é conservada se o escalar for 0, caso contrário, o vetor assume a direção oposta.

Noções sobre Vetores Exemplo Se a = 2, b = -3 e = (1,-2), então: e

Noções sobre Vetores Exemplo Produto escalar O produto escalar dos vetores de dimensão n: a = (a1,a2,...an) e b = (b1,b2,...,bn), é definido por: a.b = a1b1 + a2b2 + ...+ anbn = Exemplo Calcule o produto escalar de = (1,-2,3,4) e = (2,3,-2,1). . = 1.2 + (-2).3 + 3.(-2)+ 4.1 = -6

Noções sobre Vetores Ângulo entre dois vetores O produto escalar entre dois vetores resulta num número que mede a tendência de outro vetor apontar na mesma direção e é dado por: onde  é o ângulo formado por e .

Noções sobre Vetores Exemplo Encontre o ângulo entre os vetores = (2,4) e = (-1,2). . = 2.(-1) + 4.2 = 6 Portanto, Usando a calculadora, descobrimos que o ângulo é aproximadamente 53º.

Noções sobre Vetores Ângulo entre dois vetores Se e então, cosseno Neste caso, os vetores são perpendiculares entre si.

Noções sobre Vetores Ângulo entre dois vetores Exemplo O produto escalar entre dois vetores não nulos é zero se, e só se, o cosseno do ângulo entre eles é zero e, isto só acontece quando os vetores são perpendiculares . Exemplo Os vetores = (2,-4) e = (4,2) são ortogonais, já que:

Noções sobre Vetores Ângulo entre dois vetores . => Mas, , logo Temos então que:

Noções sobre Vetores Comprimento ou norma de um vetor O comprimento, tamanho ou norma de um vetor = (x1,y1) é: x y x1 y1 Além disso, dado um escalar , pertencente a :

Noções sobre Vetores Desigualdade triangular A norma da soma de dois vetores é sempre menor ou igual à soma das normas de cada um dos vetores: Desigualdade de Cauchy-Schwarz-Bunyakowski Essa desigualdade é conhecida por Desigualdade de Cauchy-Schwarz em homenagem a Augustin Cauchy e Hermann Amandus Schwarz. Na realidade é a desigualdade de Cauchy-Bunyakovski-Schwarz, mas o pobre Bunyakovski foi sendo esquecido com o tempo.

Noções sobre Vetores Eis o Bunyakowski, porque aqui todos merecem ser lembrados.

Noções sobre Vetores Distância entre dois pontos Além disso, pelo teorema de Pitágoras, podemos obter comprimento do segmento orientado com ponto inicial P(x1,y1) e ponto final P(x2,y2): y x P1 P2 x2 y1 y2 x1

Noções sobre Vetores Exemplo-1 Exemplo-2 Se = (2,-5), então o comprimento de é dado por: Exemplo-2 A distância entre P(3,2) e Q(-1,5), ou o comprimento do segmento orientado é dado por:

Noções sobre Vetores Versor ou Vetor unitário Um vetor unitário é um vetor de comprimento 1. Se é um vetor não-nulo, então o vetor: é um vetor unitário com a mesma direção e sentido que .

Noções sobre Vetores Exemplo Seja x = (-3,4). Então: Logo, o vetor É um vetor unitário, pois:

Noções sobre Vetores Ponto médio de um segmento O ponto médio do segmento de reta P1(x1,y1) a P2(x2,y2) é dado por: P2(x2,y2) M (x,y) P1(x1,y1)

Noções sobre Vetores Exemplo Determine o ponto médio M do segmento P1(-2,3) a P2(4,-2).

Noções sobre Vetores Produto vetorial Diferentemente do produto escalar, que dá como resultado um número, o produto vetorial tem como resultado, um outro vetor. Definição: Sejam = a1î + b1ĵ + c1k e = a2î + b2ĵ + c2k dois vetores em 3. Seu produto vetorial é o vetor x definido por:

Noções sobre Vetores Produto vetorial Exemplo: A igualdade anterior também pode ser escrita da seguinte forma: Exemplo: Sejam =2î + j + 2k e = 3î –j – 3k, então:

Noções sobre Vetores Produto vetorial O produto vetorial de um vetor consigo mesmo não forma ângulo. Eles são coincidentes. Logo, î x î = j x j = k x k = 0  Por outro lado, î x j = k; j x k = î; k x î = j.  

Noções sobre Vetores Norma do produto vetorial Vimos que o produto de dois vetores resulta num terceiro vetor ortogonal ao plano que contém os vetores originais. O comprimento desse terceiro vetor, ou seja, sua norma, é numericamente igual à área do paralelogramo formado por esses vetores.   u v |u x v| = área do paralelogramo u x v

Noções sobre Vetores Norma do produto vetorial Quando dois vetores forem paralelos no plano, então não há ângulo entre eles. Neste caso, em que = λ. , o produto vetorial x = 0. Já que o produto de dois vetores resulta num terceiro vetor perpendicular aos vetores originais, como saber a orientação desse vetor? Em outras palavras: para onde ele aponta?!   Uma regra prática conhecida como “regra da mão direita” estabelece que se posicionarmos o indicador da mão direita na direção e sentido do vetor u e o dedo médio na direção e sentido de v , o polegar apontará o sentido do terceiro vetor.

Noções sobre Vetores Exemplo-1 Calcule a área do paralelogramo ABCD, sendo AB=(1,1,-1) e AD=(2,1,4). Área = || AB x AD || AB x AD = B C A D

Noções sobre Vetores Exemplo-1) continuação || AB x AD || = Exemplo-2 A medida em radianos do ângulo entre e é . Sendo || ||=1 e || ||=7, calcule || x ||. || x || = || ||.|| ||. sen = 1 . 7 . sen = 1 . 7 . 0,5 = 3,5

Noções sobre Vetores Produto misto Considere os vetores , e . O produto misto é o número real obtido como resultado da seguinte operação:   O volume do paralelepípedo é dado por :

Noções sobre Vetores Exemplo Calcule o volume de um paralelepípedo definido pelos seguintes vetores: = (2,2,0); = (0,1,0) e = (-2,-1,-1) mas, h=||proj || 

Noções sobre Vetores Título: The Cauchy-Schwarz Master Class : An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities Autor: J. Michael Steele Editora: Cambridge University Press

Métodos de Cálculo II Bibliografia utilizada: Flemming, D. M. & Gonçalves, M. B. Cálculo A. Person Education. São Paulo, 1992. Abdounur, O. J. & Hariki, S. Matemática Aplicada. Saraiva. São Paulo, 2006. Stewart, J. Cálculo. Volume I. Thomson. São Paulo, 2006. Priestley, W. M. Calculus: An Historical Approach. Springer-Verlag. New York, 1979. Eves, H. Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics. Dover, 1990.

www.matematiques.com.br engenharia