------------------------------ Análise da resposta em freqüência FONTE: http://www.engin.umich.edu/group/ctm/freq/freq.html bode(50,[1 9 30 40]) 50 ------------------------------ s3 + 9 s2 + 30 s + 40 s3 + 9 s2 + 30 s + 40 = (s + 4) (s2 + 5s+10)

Margem de Ganho e de Fase FONTE: http://www. engin. umich Margem de Ganho (MG): definida como a variação no ganho de malha aberta necessária para o sistema em malha fechada tornar-se instável. Margem de Fase (MF): definida como a variação na fase do sistema em malha aberta necessária para tornar o sistema em malha fechada instável. wcg: Freqüência de cruzamento de ganho (em rad/s) wcf: Freqüência de cruzamento de fase (em rad/s)

Margem de Ganho e de Fase FONTE: http://www. engin. umich A margem de fase também é uma medida da tolerância do sistema a um atraso no tempo. Se houver um atraso maior do que 180/wcf na malha, o sistema ficará instável em malha fechada. Pode-se interpretar o atraso no tempo como um bloco extra na malha direta do diagrama de blocos que adiciona fase ao sistema mas não afeta o ganho (ou seja, um bloco de magnitude 1 e fase = w (rd/s)  atraso (s) (em rad). wcg wcf  Gc(s)  G(s)  Atr(s) = Gc(s)G(s) + Atr(s)

Margem de Ganho e de Fase FONTE: http://www. engin. umich bode(50,[1 9 30 40]) MF = ? ≈ 100º O que muda se bode(100*50,[1 9 30 40]) ?

Margem de Ganho e de Fase FONTE: http://www. engin. umich bode(100*50,[1 9 30 40]) MF = ? ≈ - 60º

Margem de Ganho e de Fase FONTE: http://www. engin. umich margin(50,[1 9 30 40])

Freqüência da Largura de Banda FONTE: http://www. engin. umich A largura de banda é definida como a freqüência em que a resposta em magnitude de malha fechada do sistema é igual a - 3dB. No entanto, ao realizar-se um projeto via resposta em freqüência, deseja-se prever o comportamento do sistema em malha fechada a partir da resposta em malha aberta. Portanto, utilizando-se a aproximação para um sistema de segunda ordem, a largura de banda é aproximadamente igual à freqüência em que a resposta em magnitude de malha aberta está entre -6 e -7.5 dB, assumindo que a resposta em fase de malha aberta encontra-se entre - 135º e -225º . (Vide dedução no Ogata e no Nise.) Há também relações entre a largura de banda , a freqüência natural wn e a taxa ou razão de amortecimento z com o tempo de acomodação Ts e o tempo de subida Tr .

Tempo de acomodação TS e wBW, wn e z FONTE: http://www. engin. umich

Tempo de subida TR e wBW, wn e z FONTE: http://www. engin. umich

Largura de Banda e FTMF FONTE: http://www. engin. umich - Considere a função de transferência de malha fechada de um sistema com realimentação unitária: 1 ------------------- s^2 + 0.5 s + 1 bode (1, [1 0.5 1 ]) BW = ? ≈ 1,4 rd/s

Largura de Banda e FTMF FONTE: http://www. engin. umich Dos gráficos de Bode da FTMF, também pode-se verificar que: - Para um sinal de entrada senoidal com uma freqüência w = 0,3 rad/s, o sinal senoidal de saída deve ter uma magnitude de aproximadamente 1 e uma fase de poucos graus (em atraso). - Para um sinal de entrada senoidal com uma freqüência w = 3 rad/s, o sinal senoidal de saída deve ter uma magnitude de aproximadamente -20 dB (ou 0,1 = 1/10 da amplitude do sinal de entrada) e a fase deve ser de aproximadamente -180º (quase exatamente fora de fase).

Largura de Banda e FTMF FONTE: http://www. engin. umich Veja a resposta no tempo, em regime permanente senoidal, deste sistema para uma entrada senoidal com freqüência w = 0,3 rd/s < wBW : - Entrada: roxo - Saída: azul (ligeiramente atrasado em relação ao sinal de entrada).

Largura de Banda e FTMF FONTE: http://www. engin. umich Veja a resposta no tempo, em regime permanente senoidal, deste sistema para uma entrada senoidal com freqüência w = 3 rd/s > wBW : - Entrada: roxo -Saída: azul (praticamente fora de fase em relação à entrada e com amplitude 1/10 do sinal de entrada).

Previsão do desempenho em malha fechada a partir do diagrama de Bode em malha aberta FONTE: http://www.engin.umich.edu/group/ctm/freq/freq.html De modo a prever o desempenho do sistema em malha fechada a partir da resposta em freqüência em malha aberta, observe os conceitos a seguir: O sistema deve ser estável em malha aberta para que se possa realizar o projeto via diagrama de Bode; A partir do diagrama de Bode em malha aberta, se a freqüência de cruzamento de ganho wcg for menor do que a freqüência de cruzamento de fase wcf (wcg < wcf), o sistema em malha fechada será estável; Para um sistema de segunda ordem, a taxa ou razão de amortecimento z ≈ MF/100, para 0 < MF < 60º . Para sistemas de segunda ordem, a relação entre taxa ou razão de amortecimento z, largura de banda wBW e tempo de acomodação TS é dada pela equação anteriormente vista; Uma estimativa grosseira : wBW ≈ wn.

Previsão do desempenho em malha fechada a partir do diagrama de Bode em malha aberta FONTE: http://www.engin.umich.edu/group/ctm/freq/freq.html 10 ------------- 1.25s + 1 Considere, por exemplo, o sistema acima, com G(s) =  Deseja-se projetar um compensador Gc(s) de modo que o sistema em malha fechada possua as seguintes especificações de desempenho: Erro em regime estacionário nulo para uma entrada degrau; Sobressinal máximo menor do que 40%; Tempo de subida Tr < 2 seg. Como se pode proceder para analisar o sistema G(s) e depois como proceder para projetar Gc(s) a partir do diagrama de Bode?

Previsão do desempenho em malha fechada a partir do diagrama de Bode em malha aberta FONTE: http://www.engin.umich.edu/group/ctm/freq/freq.html 10 ------------- 1.25s + 1 G(s) =  Pode-se resolver o problema graficamente ou numericamente. Vejamos a resolução gráfica. Em primeiro lugar, trace os diagramas de Bode de magnitude e fase do sistema G(s) em malha aberta. Que características do sistema em malha fechada podem ser previstas a partir da análise do diagrama de Bode de malha aberta? Vamos procurar estimar o tempo de subida, a taxa ou razão de amortecimento (e, portanto, o sobressinal máximo) e o erro em regime para uma entrada degrau unitário.

Previsão do desempenho em malha fechada a partir do diagrama de Bode em malha aberta FONTE: http://www.engin.umich.edu/group/ctm/freq/freq.html 10 ------------- 1.25s + 1 G(s) = - Em primeiro lugar, a largura de banda wBW ≈ 10 rd/s (por que?). - Como wBW ≈ wn, tem-se que o tempo de subida Tr ≈ 1,8/wBW = 0,18 s. Como se trata de uma aproximação grosseira, con-sidere Tr ≈ 0,2 s. - MF ≈ 95º  z ≈ 0,95 (por que?). Portanto, o sistema está quase sobreamortecido. - E qual é o erro em regime para uma entrada degrau?

Previsão do desempenho em malha fechada a partir do diagrama de Bode em malha aberta FONTE: http://www.engin.umich.edu/group/ctm/freq/freq.html 10 ------------- 1.25s + 1 G(s) = Lembre-se que:  ess = 1 / (1+kp) para uma entrada degrau unitário. Observe que este sistema é do tipo 0 (por que?). Portanto, kp = 20 dB = 10  ess = 0,091. O valor em regime da saída possui um erro ao degrau de 0,091, ou possui magnitude 1 - ess = 1 - 0,091 = 0,91.

Previsão do desempenho em malha fechada a partir do diagrama de Bode em malha aberta FONTE: http://www.engin.umich.edu/group/ctm/freq/freq.html Plotando a resposta no tempo deste sistema a uma entrada degrau unitário:

Projeto do compensador Gc(s) FONTE: http://www. engin. umich Como deseja-se zerar o erro em regime a uma entrada degrau, é necessário aumentar o tipo do sistema. Portanto, Gc(s) deve possuir um pólo em s = 0. Guiados por este fato, vamos tentar projetar um compensador PI para este sistema, ou seja: O zero em s = - a permite uma maior flexibilidade ao projeto.  Primeiro passo: encontrar z correspondendo a Mp = 40%  z ≈ 0,28.  Como MF ≈ 100z  MF ≈ 30º.  A partir do gráfico Tr*wBW  z  Tr*wBW ≈ 21. Como a especificação diz que deve-se ter Tr < 2 s  wBW > 21/Tr . Escolhendo-se Tr < 1,75 s  wBW ≥ 12 rd/s (correspondendo a um ganho de, aprox, - 7dB). K*(s+a) ------------ s Gc(s) =

Projeto do compensador Gc(s) FONTE: http://www. engin. umich Diagramas de Bode de G(s) / s (para ver a influência do termo integral apenas):  Observe que MF e wBW são muito pequenos.  A adição do termo no numerador de Gc(s) proposto, K*(s+a), vai adicionar um ganho e uma fase.  Vamos aleatoriamente fazer a = 1 e o ganho K unitário somente para procurar entender a influência do zero nos diagramas de Bode de G(s) / s:

Projeto do compensador Gc(s) FONTE: http://www. engin. umich G(s) * (s + 1) / s  MF > 60º (fornecendo, portanto, um z maior e, conseqüentemente, um sobre-sinal Mp menor do que o especificado).  wBW ≈ 11 rd/s  A espeficicação no tempo de subida Tr deve ser satisfeita.  Para tentar aumentar ainda mais wBW para diminuir o tempo de subida, vamos fazer K = 5 para ver sua influência na resposta do sistema.

Projeto do compensador Gc(s) FONTE: http://www. engin. umich G(s) * 5 * (s + 1) / s  Conforme esperado, o diagrama de Bode de fase manteve-se inalterado, e o diagrama de Bode de magnitude subiu 20logK = 20log5 em todos os pontos (por que?).  Observe que wBW está maior, pois o ganho correspondente a aproxima-damente – 7dB ocorre a uma freqüência maior do que no último gráfico.  Gc(s) = 5 * (s + 1) / s

Projeto do compensador Gc(s) FONTE: http://www. engin. umich G(s)*Gc(s) = G(s) * 5 * (s + 1) / s  Observe a resposta ao degrau para: Gc(s) = 5 * (s + 1)/s  Especificações atendidas!