Visão Computacional Geometria de Transformações Luiz M. G. Gonçalves

Transformações F Vetores, bases e matrizes F Translação, rotação e escala F Coordenadas homogêneas F Rotações e translações 3D

Uso de transformações F Construir modelos complexos a partir de componentes simples F Transformar coordenadas de câmera em mundo, objeto e imagem e vice-versa F Analisar efeitos de transformações rígidas e não rígidas em objetos xoxo zozo yoyo ycyc xcxc zczc xwxw zwzw ywyw y im x im

Cinemática

Combinação linear F Dados dois vetores v 1 e v 2,ande uma distância qualquer na direção de v 1 e então ande outra distância na direção de v 2 F O conjunto de todos os lugares (vetores, pontos) que podem ser atingidos é dado pelas combinações lineares possíveis entre v 1 e v 2 F Um conjunto de vetores é dito linearmente independentes se nenhum deles pode ser escrito como uma combinação linear dos outros

Combinação linear F V = k 1 V 1 +k 2 V 2 v1v1 v2v2 k1V1k1V1 k2V2k2V2 V = k 1 V 1 +k 2 V 2

Bases vetoriais F Uma base vetorial é um conjunto de vetores linearmente independentes entre si, cuja combinação linear leva a qualquer lugar dentro do espaço, isto é, varre o espaço. F Para varrer um espaço n-dimensional, são necessários n vetores F Se a base é normalizada e os vetores mutu- amente ortogonais, ela é dita ser ortonormal F Obviamente, há muito mais que uma base possível para um dado espaço vetorial.

Representação de vetores F Todo vetor tem uma representação única numa dada base wOs multiplicadores pelos vetores da base são chamados de componentes ou coordenadas wMudando a base, muda os componentes, mas não o vetor V= v 1 E 1 +v 2 E v n E n F Os vetores E 1, E 2,..., E n são a base F Os escalares v 1, v 2,..., v n são os componentes de v com respeito à base.

Transformação Linear e Afim F Uma função (ou mapeamento ou ainda transformação) F é linear se, para todos os vetores v 1 e v 2 e todos escalares k: F(V 1 +V 2 ) = F(V 1 ) + F(V 2 ) F(kV 1 ) = kF(V 1 ) F Qualquer mapeamento linear é completamente especificado pelo seu efeito numa base vetorial

Efeito na base v = v 1 E 1 + v 2 E 2+ v 3 E 3 F(v) = F(v 1 E 1 +v 2 E 2+ v 3 E 3 )= = F(v 1 E 1 )+F(v 2 E 2 )+F(v 3 E 3 )= = v 1 F(E 1 ) + v 2 F(E 2 )+v 3 F(E 3 ) F Uma função F é afim se ela é linear mais uma translação wEntão a função y = mX+b não é linear, mas é afim

Transformando um vetor F As coordenadas do vetor da base transformado (em termos dos vetores da base original): F(E 1 ) = f 11 E 1 +f 21 E 2 +f 31 E 3 F(E 2 ) = f 12 E 1 +f 22 E 2 +f 32 E 3 F(E 3 ) = f 13 E 1 +f 23 E 2 +f 33 E 3 F O vetor geral V transformado torna-se: F(V) = v 1 F(E 1 ) + v 2 F(E 2 )+v 3 F(E 3 ) = v 1 (f 11 E 1 +f 21 E 2 +f 31 E 3 )+v 2 (f 12 E 1 +f 22 E 2 +f 32 E 3 )+v 3 (f 13 E 1 +f 23 E 2 +f 33 E 3 )= (f 11 v 1 +f 12 v 2 +f 13 v 3 )E 1 +(f 21 v 1 +f 22 v 2 +f 23 v 3 )E 2 +(f 31 v 1 +f 32 v 2 +f 33 v 3 )E 3

Transformando um vetor F Suas coordenadas ainda em referência a E tornam-se: v 1 ´ = f 11 v 1 +f 12 v 2 +f 13 v 3 v 2 ´ = f 21 v 1 +f 22 v 2 +f 23 v 3 v 3 ´ = f 31 v 1 +f 32 v 2 +f 33 v 3 F Ou simplesmente v i =  f ij v j que é a fórmula de multiplicação matricial

Multiplicação de matrizes! F Uma matriz F de dimensões nxn representa uma função linear em n dimensões wA i-ésima coluna mostra o que a função faz ao vetor de base correspondente F Transformação é uma combinação linear das colunas de F wPrimeiro componente do vetor de entrada escala a primeira coluna da matriz wacumula no vetor de saída wrepete para cada coluna e componente

Multiplicação matricial F Usualmente calcula-se de modo diferente wfaça o produto interno da coluna i da matriz com o vetor de entrada para conseguir componente i do vetor de saída: v 1 ´ f 11 f 12 f 13 v 1 v 2 ´ = f 21 f 22 f 23 v 2 v 3 ´ f 31 f 32 f 33 v 3

Translação

Rotação

Matriz de rotação possui vetores unitários

Representação da rotação

Exemplo de rotação

Relações espaciais F Representação em relação a um frame (sistema de coordenadas) F P (X,Y,Z)

Orientação

Matriz de orientação

Propriedade elementar (unitária)

Juntando orientação e posição

Coordenadas Homogêneas

Juntar rotação e translação

Coordenadas homogêneas F Translação não é linear. Como representar em forma de matriz? wAdiciona uma coordenada extra a cada vetor x ´ 100t x x y ´ =0 10t y y z´0 01t z z F Coordenada extra é chamada de homogênea (ou w) F Transformação denominada homogênea

Transformação Homogênea

Translação pura

Roll, Pitch, Yaw

Rotação em torno de cada eixo

Generalização da Rotação

Exemplo de rotação + translação

Exemplo: continuação

Invertendo a transf. homogênea