Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves Universidade Federal de Alagoas Centro de Tecnologia Estatística Aula 23 Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves

Aula 23 Teste de Hipóteses para 3 ou mais médias: ANOVA fator único

Inferência sobre 3 ou mais médias Objetivo: dadas 3 ou mais amostras, verificar a hipótese de igualdade de 3 ou mais médias populacionais Suponha que a equipe de engenheiros de uma fábrica de papel desconfia que a porcentagem (concentração) de madeira de lei na fabricação aumenta a resistência à tensão. Eles resolvem fazer experimentos com 4 níveis de concentração: 5%, 10%, 15% e 20%, fabricando 6 corpos de prova para cada nível, totalizando 24 corpos de prova

Concentração de madeira de lei Inferência sobre 3 ou mais médias O quadro abaixo o experimento com os resultados Observações Concentração de madeira de lei 5% 10% 15% 20% 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 22 4 11 23 5 9 16 6 10 20 Médias 10,00 15,67 17,00 21,17 Neste tipo de experimento, há um único fator  concentração de madeira de Lei. O fator no nosso exemplo possui 4 níveis  chamados de tratamentos Cada tratamento teve 6 observações  6 replicatas

Os dados estão a seguir  amostras de tamanhos iguais a 30 Inferência sobre 3 ou mais médias A pergunta a ser respondida: o nível do fator ou os diferentes tratamentos fazem melhorar a resistência à tensão do papel? Outro Exemplo: testar a hipótese de que o CRs acumulados médios dos alunos de engenharia são diferentes para 3 diferentes populações: iniciantes, intermediários e concluintes. Os dados estão a seguir  amostras de tamanhos iguais a 30 Quem é o fator? Quem são os tratamentos?

Hipóteses: Inferência sobre 3 ou mais médias H0: m1 = m2 = m3 = ... População/estatística Iniciantes Intermediários Concluintes n 30 Média amostral 6,564 6,736 7,105 s 1,739 1,148 1,041 Hipóteses: H0: m1 = m2 = m3 = ... H1: pelo menos uma é diferente das demais Usaremos a chamada análise de variância (ANOVA)  médias muito diferentes ocasionam variância entre elas alta

s12 = s22 = s32 = ... = s2, estimamos s2 com 2 abordagens diferentes. Inferência sobre 3 ou mais médias Ideia geral do teste: como se supõe que as populações têm variâncias iguais, ou seja, s12 = s22 = s32 = ... = s2, estimamos s2 com 2 abordagens diferentes. Com a estatística F descobriremos se estas 2 abordagens possuem estimativas muito direfentes  F alto ou parecidas  F próximo de 1. O 1º caso será evidência em favor de H1 e o 2º caso em favor de H0 Variância entre amostras (variância devido ao tratamento) Quais são as 2 abordagens? Variância dentro das amostras (variância devido ao erro)

Inferência sobre 3 ou mais médias Médias muito diferentes ocasionam variância entre elas alta (variância entre amostras)  F alto  Região de rejeição  rejeitamos H0  evidência contra a igualdade de médias Médias parecidas ocasionam variância entre elas baixa (variância entre amostras)  F baixo  Região de não rejeição  não rejeitamos H0  evidência a favor da igualdade de médias População/estatística Iniciantes Intermediários Concluintes n 30 Média amostral 6,564 6,736 7,105 s 1,739 1,148 1,041 numerador denominador

As amostras são independentes umas das outras; Inferência sobre 3 ou mais médias Suposições: As amostras são independentes umas das outras; As populações têm distribuições que são aproximadamente normais As populações têm a mesma variância (exigência leve  tamanhos de amostras iguais podem ter variâncias bem diferentes: a maior ser até 9 vezes a menor  os resultados ainda são confiáveis) Amostras aleatórias As amostras são de populações que são categorizadas de uma só maneira -quadri

Aplicações Exemplo (continuação): testar a hipótese de que o CRs acumulados médios dos alunos de engenharia são diferentes para 3 diferentes populações: iniciantes, intermediários e concluintes. População/estatística Iniciantes Intermediários Concluintes n 30 Média amostral 6,564 6,736 7,105 s 1,739 1,148 1,041 numerador -quadri denominador

Aplicações Como sempre  achar o valor crítico de F da tabela Para a = 0,05 e graus de liberdade: glnumerador = k – 1 = 3 – 1 = 2 gldenominador = k.(n – 1) = 3.(30 – 1) = 87 onde k é o no de amostras e n o tamanho das amostras (por enquanto o mesmo para todas elas)

Aplicações A tabela não possui 87, mas sim 60 e 120, cujos valores são 3,1504 e 3,0718. Tomando o valor médio, temos Fc = 3,111 Como F = 1,268 < Fc = 3,111 não há evidência estatística suficiente, ao nível de significância de 5%, para afirmar que as 3 médias sejam diferentes

A seguir veremos como fica o caso de amostras com tamanhos diferentes Inferência sobre 3 ou mais médias Esse foi o caso da aplicação da ANOVA de um critério ou ANOVA de fator único, pois usamos uma única característica ou propriedade para categorizar populações. Essa característica é, algumas vezes chamada de tratamento ou fator. Outra observação: os tamanhos das amostras foram iguais, o que facilitou bastante o cálculo e o entendimento A seguir veremos como fica o caso de amostras com tamanhos diferentes

ANOVA fator único: amostras de tamanhos diferentes Para o caso de amostras com tamanhos diferentes, também usamos a estatística F como a razão entre duas estimativas diferentes da variância populacional comum s2, mas agora elas envolvem medidas ponderadas Variação entre as médias das amostras (tratamento)  Variação dentro das amostras (erro)

ANOVA fator único: amostras de tamanhos diferentes Média de todos os valores amostrais combinados No de médias populacionais sendo comparadas k ni No de valores da i-ésima amostra Média dos valores da i-ésima amostra Variância dos valores da i-ésima amostra

Suponhamos 3 amostras (tabela abaixo) ANOVA fator único: amostras de tamanhos diferentes Suponhamos 3 amostras (tabela abaixo) Amostra 1 Amostra 2 Amostra 3 a1 b1 c1 a2 b2 c2 b3 k = 3  3 médias populacionais sendo comparadas: m1, m2 e m3 n1 = 2 n2 = 3 n3 = 2  médias amostrais  variâncias amostrais média de todos os valores amostrais combinados = 7

Suponhamos 3 amostras (tabela abaixo) ANOVA fator único: amostras de tamanhos diferentes Suponhamos 3 amostras (tabela abaixo) Amostra 1 Amostra 2 Amostra 3 a1 b1 c1 a2 b2 c2 b3 n1 = 2 n2 = 3 n3 = 2 e

Há uma nomenclatura para estes somatórios ANOVA fator único: amostras de tamanhos diferentes Há uma nomenclatura para estes somatórios ou SQ(entre amostras) ou SQ(entre grupos) ou SQ(fator) ou SQ(dentro das amostras) onde SQ = Soma dos quadrados Dividindo SQ(tratamento) e SQ(erro) por seus respectivos graus de liberdade  MQ(tratamento) e MQ(erro) onde MQ = Média quadrática

ANOVA fator único: amostras de tamanhos diferentes onde N = n1 + n2 + n3  no total de valores em todas as amostras combinadas k do nosso exemplo

Então para testarmos a hipótese de diferenças de 3 ou mais médias ANOVA fator único: amostras de tamanhos diferentes Então para testarmos a hipótese de diferenças de 3 ou mais médias H0: m1 = m2 = m3 = ... H1: pelo menos uma é diferente das demais Estatística de teste: -quadri  gl = k - 1  gl = N - k

Soma dos Quadrados (SQ) ANOVA fator único: amostras de tamanhos diferentes Este tipo de teste costuma ser feito com o auxílio da tabela ANOVA Col 1 Col 2 Col 3 Col 4 Col 5 Fonte de variação Soma dos Quadrados (SQ) Graus de liberdade Média Quadrática (MQ) Estatística de teste F Tratamento k - 1 Num = Col 2/Col 3 Num / Den Erro N - k Den = Col 2/Col 3 Total N - 1 -quadri

Aplicações Um engenheiro ambiental está analisando o efeito da vazão de um efluente contaminado com chumbo na concentração de saída do chumbo em um sistema de tratamento. A tabela abaixo apresenta o resultado dos ensaios realizados com 5 vazões diferentes. Há qualquer diferença na concentração de saída do chumbo devido à variação na vazão? Use a = 0,05

Aplicações Uso do Statdisk

Aplicações

Aplicações Revisitando o teste dos CRs acumulados

Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves Universidade Federal de Alagoas Centro de Tecnologia Estatística Aula 23 Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves