Estatística Aula 19 Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves Universidade Federal de Alagoas Centro de Tecnologia Estatística Aula 19 Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves Adaptado do material elaborado pelo Prof. Wayne Santos de Assis

Aula 19 Introdução a intervalos de confiança Margem de Erro e Erro Padrão da Média Cálculo do tamanho da amostra para Média

Introdução a intervalos de confiança Vimos pelo teorema central do limite  se tomarmos amostras de tamanho n grande  surge uma distribuição amostral das médias e X ~ N (m, s2/n) _ No caso dos alunos, cada amostra de 5 alunos (n = 5) é uma estimativa pontual do valor da população (N = 87 alunos) Mais longe de m Mais perto de m Média das médias = = 1,7098  m, quando n  ∞

Introdução a intervalos de confiança X ~ N (m, s2/n) _ cada média amostral é uma estimativa pontual

Valor da população = Valor da amostra + Faixa Introdução a intervalos de confiança Vamos falar agora de outra abordagem  estimativa intervalar ou intervalo de confiança (IC) Valor da população = Valor da amostra + Faixa Estimativa pontual Parâmetro IC Margem de erro IC

Introdução a intervalos de confiança Nível de confiança m E - + IC

Introdução a intervalos de confiança Interpretação do IC Se um no infinito de amostras aleatórias for coletado e um IC de 95% (ou 90% ou 80% ...) para q for calculado a partir de cada amostra, então 95% (ou 90% ou 80% ...) desses intervalos conterão o valor verdadeiro de q (nosso caso m) q Na prática, tomamos uma amostra de tamanho conveniente e dizemos há 95% de chance de que o IC de nossa amostra conter q (m em nosso caso)

Estamos confiantes 100.(1 – a)% de que m estará no IC Introdução a intervalos de confiança NC = 1 - a a/2 Estamos confiantes 100.(1 – a)% de que m estará no IC

Margem de erro e erro padrão da média Nível de confiança (NC)  probabilidade que nos diz o quanto estamos confiantes de que m estará no IC Se NC for de 95%  estamos confiantes 95 % de que m estará na faixa X ~ N (m, s2/n) _ Erro Padrão da Média

Margem de erro e erro padrão da média O que é o score? Vimos que A Distribuição amostral das médias se aproxima da curva normal para n suficientemente grande (n > 30), da forma seguinte X ~ N (m, s2/n) _ Logo podemos utilizar a curva normal padrão com a variável reduzida z score = z ou ainda score = zc

NC = 1 - a Margem de erro e erro padrão da média a/2 -zc zc 90% 1,645 95% 1,960 99% 2,575 Estamos confiantes 100.(1–a)% de que m estará no IC

Margem de erro e erro padrão da média Exemplo: uma pesquisa foi realizada para se estimar a renda média familiar, em uma população com desvio padrão de R$ 50,00. Para isto tomou uma amostra de 80 famílias. A média nesta amostra foi de R$ 500,00. Adotou-se 95% de NC. Pergunta-se: Qual a estimativa pontual da média populacional? b) Qual a margem de erro da pesquisa? c) Qual o IC?

b) c) - E < µ < + E 500 - 10,96 < µ < 500 + 10,96 Margem de erro e erro padrão da média b) c) - E < µ < + E 500 - 10,96 < µ < 500 + 10,96 489,04 < µ < 510,96 Com 95% de confiança

Margem de erro e erro padrão da média Exemplo: Se o desvio padrão da estatura dos alunos do Ctec é de 0,09 m, qual a média populacional com o NC de 90%, tomando uma amostra de 30 alunos e média amostral de 1,71?

Atenção Estimação da média para s desconhecido Preciso de Para m m Preciso de s Para s Então substituo s por s (desvio padrão amostral) Esta troca gera problemas se a amostra for pequena  n pequeno

Estimação da média para s desconhecido Se substituirmos por outro o efeito será uma má estimação de m para n pequeno Usaremos para compensar amostras pequenas a Distribuição t de Student Como é esta distribuição (comparando com a curva normal padrão) ...

Distribuição t de Student Ela é diferente para tamanhos de amostras diferentes Ela tem a mesma forma geral da DN padrão, mas é mais larga com pequenas amostras

Distribuição t de Student À medida que n aumenta, a ela se aproxima da DN padrão Ela também tem uma média de t = 0 Mas o desvio padrão da distribuição t de Student varia com o tamanho amostral e é maior que 1

Distribuição t de Student Uso da tabela da curva t Tem que ser dado o valor de n e o NC Em seguida calcula-se o número de graus de liberdade  gl = n - 1 Pegar o valor de tc

Estimação da média para s desconhecido Exemplo: pesquisa para se estimar a renda média familiar. Tomou-se uma amostra de 80 famílias. A média nesta amostra foi de R$ 800,00 e o desvio padrão foi de R$ 100,00. Adotou-se 95% de NC. Pergunta-se: Qual a estimativa pontual da média populacional? b) Qual a margem de erro da pesquisa? c) Qual o IC?

b) c) 800 – 22,25 < µ < 800 + 22,25 777,75 < µ < 822,25 Estimação da média para s desconhecido b) Número de graus de liberdade: gl = n – 1 = 79  curva t: 2 caudas 0,05, tc = 1,99 c) 800 – 22,25 < µ < 800 + 22,25 777,75 < µ < 822,25 Com 95% de confiança

Tabela da distribuição t de Student

Tabela da distribuição t de Student

Tabela da distribuição t de Student

Cálculo do tamanho da amostra n Quando planejamos uma pesquisa, fazemos o inverso: Adotamos E e calculamos n População Infinita População Finita  n ≤ 5% N Pode-se adotar o desvio padrão amostral para se determinar n  depois, deve-se calcular a E verdadeira

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