e-mail: fbranco@feg.unesp.br Página da FEG: www.feg.unesp.br/~fbranco Estatística 9 - Estimação de Parâmetros por Intervalo Prof. Antonio Fernando e-mail: fbranco@feg.unesp.br Página da FEG: www.feg.unesp.br/~fbranco

Distribuição Amostral de f e p´ f : freqüência absoluta com que foi observada alguma característica em cada elemento de uma amostra de tamanho “n” SUCESSO: quando a característica foi observada FRACASSO: caso contrário Seja: p = Prob. de Sucesso em cada elemento da amostra q = Prob. de Fracasso f tem Distribuição Binomial p’ : freqüência relativa com que foi observada alguma característica numa amostra de tamanho “n”

Intervalo de Confiança para a Proporção Populacional (2) Caso np  5 e n(1 - p)  5 pode-se aproximar a Binomial pela Normal. Assim sendo, pode-se considerar que p’ tem Distribuição Normal Sendo p’ um estimador de p, tem-se: Logo, Intervalo de Confiança:

Intervalo de Confiança para a Proporção Populacional - Exemplo Retirada uma amostra de 1.000 peças da produção de uma máquina, verificou-se que 35 eram defeituosas. Construir um intervalo com nível de confiança de 95% para a proporção de defeituosas fornecida por essa máquina. Solução: Considerando que as condições de aproximação da Binomial pela Normal estão satisfeitas: Intervalo de Confiança: 2,5% 95% 0,0236 0,035 0,0464 Portanto:

Tamanho da Amostra Exemplo 2: Qual o tamanho de amostra suficiente para estimarmos a proporção de defeituosos fornecidos por uma máquina, com precisão de 0,02 e 95 % de confiança, sabendo que essa proporção seguramente não é superior a 0,20? Solução: De acordo com o anteriormente exposto, temos: Logo, será suficiente uma amostra de 1.537 elementos.

Estimação com base em diversas amostras Sejam k amostras: Estimação da média : Média ponderada das médias amostrais (peso: tamanho de cada amostra) Estimação da variância 2: Média ponderada das variâncias amostrais (peso: grau de liberdade de cada amostra) Estimação do desvio-padrão  : Amostras grandes (n>30): Raiz Quadrada da Variância s2 Amostras pequenas (n<30): Média aritmética das variâncias amostrais Estimação da proporção p : calcula-se a média ponderada das freqüências relativas amostrais (peso: tamanho de cada amostra)

Exercícios (Costa Neto, Ed.2000, p.80) 3. Uma amostra de quinze elementos retirada de uma população normalmente distribuída forneceu = 32,4 e s2 = 2,56. Construa intervalos de 95% e 99 % de confiança para: a) a média da população; b) a variância da população; c) o desvio-padrão da população. Solução: Amostra: n = 15 = 32,4 s2 = 2,56  s = 1,60 a. Média da população: Para 95 %: = 2,145 Pr [32,4-0,8861<m<32,4+0,8861]=0,95 Para 99 %: = 2,977,

Exercícios (Costa Neto, Ed.2000, p.80) Exercício 3 (continuação) b. Variância da população: Para 95 %: Intervalo: 1,372  2  6,367 Para 99 %: Intervalo: 1,144  2  8,795 c. Desvio-padrão da população: Para 95 %: 1,372  2  6,367  1,1713    2,523 Para 99 %: 1,144  2  8,795  1,0696    2,9656

Distribuições t de Student - valores de , onde P = P( )

Exercícios (Costa Neto, Ed.2000, p.81) 11. Sabe-se que a variação das dimensões fornecidas por uma máquina independem dos ajustes do valor médio. Duas amostras de dimensões das peças produzidas forneceram: Estabeleça um intervalo de 95 % de confiança para o desvio-padrão. Solução: amostra 1: n1 = 6 = 12,3 s1 = 0,253 amostra 2: n2 = 5 = 13,92 s2 = 0,148 I.C.: 0,147    0,389

Distribuição normal – valores de P(0 Z z0)