Geoestatística Aplicada à Agricultura de Precisão III DICA Just work !!!!! Copyright, 2000 @ Daniel Marçal de Queiroz.

Analisando um conjunto de dados Distribuição completa dos valores da variável “V” para classes de 50 ppm e 10 ppm

Analisando um conjunto de dados Gráfico de probabilidade normal e lognormal para a frequência acumulada dos 78000 valores da variável “V”

Analisando um conjunto de dados Distribuição completa dos valores da variável “U” para classes de 50 ppm e 10 ppm

Analisando um conjunto de dados Gráfico de probabilidade normal e lognormal para a frequência acumulada dos 78000 valores da variável “U”

Analisando um conjunto de dados Distribuição dos valores da variável “T” (branco T=2; preto T=1)

Analisando um conjunto de dados Histograma da variável “V” para regiões (a) onde T=1 e (b) onde T=2

Analisando um conjunto de dados Histograma da variável “U” para regiões (a) onde T=1 e (b) onde T=2

Analisando um conjunto de dados Gráfico de dispersão dos valores da variável “U” versus os da variável “V”: (a) para todos os 78000 pontos =0,65 - relacionamento não-linear; (b) 60384 valores de “V” e “U” onde T=2; (c) 17616 valores de “V” e “U” onde T=1

Analisando a continuidade espacial Curvas de contorno para valores médios da variável “V” em blocos de 10x10 m2. As curvas são apresentadas a intervalos de 200 ppm com a primeira curva refletindo o valor de 100 ppm.

Analisando a continuidade espacial Curvas de contorno para valores de desvio padrão da variável “V” em blocos de 10x10 m2. As curvas são apresentadas a intervalos de 200 ppm com a primeira curva refletindo o valor de 100 ppm.

Analisando a continuidade espacial Relação entre desvio padrão de média para blocos de 10x10 m2. (a) variável “V” com =0,798 e (b) variável “U” com =0,921

Analisando a continuidade espacial Curvas de contorno para valores médios da variável “U” em blocos de 10x10 m2. As curvas são apresentadas a intervalos de 200 ppm com a primeira curva refletindo o valor de 100 ppm.

Analisando a continuidade espacial Curvas de contorno para valores médios da variável “U” em blocos de 20x20 m2. As curvas são apresentadas a intervalos de 200 ppm com a primeira curva refletindo o valor de 100 ppm.

Analisando a continuidade espacial Curvas de contorno para valores de desvio padrão da variável “U” em blocos de 10x10 m2. As curvas são apresentadas a intervalos de 200 ppm com a primeira curva refletindo o valor de 100 ppm.

Analisando a continuidade espacial Três métodos foram apresentados para descrever a continuidade espacial: função de correlação; função de covariância e variograma Os métodos clássicos de estimativa são embasados na função de covariância A covariância depende da magnitude e direção do vetor h

Analisando a continuidade espacial Os valores refletem a covarância de todos os gráficos de dispersão em todas as direções para distâncias de pelo menos 100 metros O intervalo de entre as curvas é de 10000 ppm2 A covariância para h=(0,0) está localizada no centro do mapa As duas linhas N14W e N76E são as direções de máxima e mínima continuidade As duas linhas N31E caem no meio dos dois eixos É possível visualizar a simetria do mapa C(h=30,50) = C(h=-30,-50) Esse gráfico é muito difícil de ser gerado Curvas de contorno da função de covariância para a variável “V”

Analisando a continuidade espacial (a), (b) e (c) mostram os secção dos perfis de covariância em três direções. Em (d) é apresentado os três perfis em um único gráfico. A unidade do eixo vertical está em milhões de ppm2 Em todos os gráficos C(h) cai quase que uniformemente dentro da faixa de 25m a partir do valor de 62450 ppm2. Na direção N14W, o valor de C(h) não cai tão rapidamente quanto nas outras direções Para pares de pontos separados de 50m, a covariância entre os valores de “V” é de aproximadamente 20000 ppm2 para a direção N14W e 0 para as outras direções

Analisando a continuidade espacial Os valores refletem a covarância de todos os gráficos de dispersão em todas as direções para distâncias de pelo menos 100 metros O intervalo de entre as curvas é de 10000 ppm2 A covariância para h=(0,0) está localizada no centro do mapa As duas linhas N14W e N76E são as direções de máxima e mínima continuidade As duas linhas N31E caem no meio dos dois eixos Curvas de contorno da função de covariância para a variável “U”

Analisando a continuidade espacial (a), (b) e (c) mostram os secção dos perfis de covariância em três direções. Em (d) é apresentado os três perfis em um único gráfico. A unidade do eixo vertical está em milhões de ppm2 Os valores da variável “U” estão mais dispersos que o da variável “V” Variável “V” é ligeiramente mais contínua que “U”

Analisando a continuidade espacial Curvas de contorno da covariância para a variável “V” (a) para T=1 e (b) para T=2

Analisando a continuidade espacial Curvas de contorno da covariância para a variável “U” (a) para T=1 e (b) para T=2

Analisando a continuidade espacial Problema: para cada h escolhido existe uma certa aleatoriedade na localização dos pontos que faz com que poucos pontos estão separados exatamente por h É necessário colocar uma tolerância em relação à distância e direção

Analisando a continuidade espacial Embora um conjunto de gráficos de dispersão forneça a mais completa descrição da continuidade espacial, geralmente ele contem muita informação e requer algum tipo de simplificação Para apresentar de forma compacta a continuidade espacial foram definidas: a função de correlação, a função de covariância e o variograma Todos esses métodos usam estatísticas simples dos gráficos de dispersão para descrever como a variabilidade espacial varia em função da distância e direção O variograma é o método mais usado para analisar a continuidade espacial

Analisando a continuidade espacial Terminologia associada aos variogramas: Alcance (range): à medida que a distância entre os pares de ponto aumenta, o valor do variograma geralmente aumenta até chegar a um ponto em que o aumento da distância não mais causa o aumento do valor variograma (o variograma atinge um patamar). A distância em que esse patamar é alcançado é chamado de alcance.

Analisando a continuidade espacial Terminologia associada aos variogramas: Patamar (sill): Valor variograma quando se atinge o valor máximo e estável Efeito pepita (nugget effect): O valor do variograma é igual a zero quando h=0 Erros de amostragem e pequena variabilidade de escala pode fazer com que valores separados por pequenas distâncias apresentem-se bastantes diferentes Isso causa descontinuidade na origem do variograma O salto vertical do valor zero na origem para valores a distâncias extremamente pequenas é chamado de efeito pepita Efeito pepita relativo (relative nugget effect) Razão entre o efeito pepita e o patamar

Analisando a continuidade espacial Análise de continuidade espacial começa com um variograma multidirecional: procura-se o valor de hij que é grande o suficiente para não mais ter efeito no variograma Como todas as direções foram combinadas em um único variograma o que importa é a magnitude de hij A análise de continuidade pelo variograma multidirecional não implica que a continuidade seja a mesma em todas as direções

Analisando a continuidade espacial Parâmetros importantes num variograma multidirecional: incremento de distância e a tolerância para a distância Depois que o variograma multidirecional foi estabelecido parte-se para a análise de anisotropia para identificar as direções em que a continuidade é máxima e mínima Após identificadas as direções de máxima e mínima continuidade escolhe-se a tolerância direcional para a obtenção de um varioagrama sem anomalias

Analisando a continuidade espacial Definindo os parâmetros de distância: O primeiro parâmetro que precisa ser definido é o incremento de distância h, o segundo é a tolerância aceitável para a distância A distância entre os pontos de amostragem pode dar uma boa indicação do incremento de distância h Se a amostragem foi feita aleatoriamente um ponto de partida seria a distância média entre pontos amostrais consecutivos Se a distância entre os pontos amostrais for anisotrópica, com o espaçamento entre pontos amostrais bem menor em uma direção que em outra, os parâmetros de distância dependerão da direção A escolha mais comum para a tolerância de distância é a metade da distância entre pontos. Se o malha de pontos for uniforme ou bem próxima de uniforme a tolerância pode ser menor

Analisando a continuidade espacial Definindo os parâmetros de distância: Valores do variograma multidirecional para incremento de 5m e tolerância de 2,5 m 470 valores da variável “V”

Analisando a continuidade espacial Definindo os parâmetros de distância: Variograma para um incremento de distância de 5m

Analisando a continuidade espacial Definindo os parâmetros de distância: Valores do variograma multidirecional para incremento de 10m e tolerância de 5m

Analisando a continuidade espacial Definindo os parâmetros de distância: Variograma para um incremento de distância de 10m

Analisando a continuidade espacial Definindo os eixos de anisotropia: Ilustração mostrando como dados bidimensionais podem ser agrupados para formar uma superfície de variograma. Qualquer bloco todos os pontos que caírem dentro a porção achureada será agrupada com a amostrada localizada na posição (x,y)

Analisando a continuidade espacial Definindo os eixos de anisotropia: Agrupando os valores de variograma considerando as tolerâncias de posição

Analisando a continuidade espacial Definindo os eixos de anisotropia: Linhas de contorno do variograma com os valores expressos em milhões de ppm2

Analisando a continuidade espacial Definindo os eixos de anisotropia: Linhas de contorno do variograma com os valores expressos em milhões de ppm ao quadrado Existe uma clara anisotropia , o superfície do variograma aumenta ao longo da linha N76E e lentamente ao longo a linha N14W

Analisando a continuidade espacial Definindo os eixos de anisotropia: Uso de superfícies de contorno não é muito comum devido problemas que geralmente ocorrem com relação aos dados experimentais (valores fora da realidade). Nem sempre os usuários dipõem da ferramentas para geração das superfícies de contorno Método convencional consiste em obter as direções de mínima e máxima continuidade por tentativas

Analisando a continuidade espacial Definindo os eixos de anisotropia: Nove variogramas direcionais usando um tolerância angular de ±45° - o valor do patamar em todos eles é superior a 80000 ppm2 Para cada direção será definida a distância em que o variograma atinge 80000 ppm2 Construindo um gráfico com das diferentes direções com os valores das distâncias obtem-se uma figura de formato elíptico O eixo maior dessa elipse indica a direção de máxima continuidade e o menor eixo o de mínima continuidade

Analisando a continuidade espacial Definindo os eixos de anisotropia:

Analisando a continuidade espacial Definindo os eixos de anisotropia:

Analisando a continuidade espacial Definindo a tolerância angular ou tolerância direcional: usando pequena tolerância direcional geralmente implica em poucos pontos experimentais e o variograma tende a apresentar anomalias Analisando-se duas direções e os valores da variável “V” obteve-se o seguintes número de pontos para as diferentes tolerâncias:

Analisando a continuidade espacial Definindo a tolerância angular ou tolerância direcional: Os variogramas apresentados abaixo mostram que a tolerância de 40° é a ideal

Estimativas Tipos: Estimativa local ou global Estimativa do valor médio ou a distribuição completa dos dados Estimativa de valores pontuais ou de valores em blocos

Estimativas Combinação linear de pesos: v1, v2,...,vn são os n valores disponíveis e wi são os pesos atribuidos aos valores vi Geralmente o somatório dos pesos wi é igual a 1,0 Para valores transformados:

Estimativas Global e Local: Global quando se tem dados referentes a uma grande área e muitas amostras estão disponíveis Local quando se tem dados referentes a uma pequena área Global: estimativa do valor médio da variável “U” numa área inteira (78000 valores disponíveis) Local: valor médio de “U” em uma área de 10x10 m2

Estimativas Valores médios e distribuição completa: média (às vezes é obtida aritimeticamente) mediana variabilidade

Estimativas Blocos e pontos: tamanho da amostra em certos ramos da ciências é um importante ponto a ser considerado quando se usa pontos amostrais relativos maiores áreas (valores pontuais versus 10x10 m2 versus 20x20 m2) obtem-se mapas mais suaves

Estimativas Blocos e pontos: Histogramas para os valores da variável “U” 78000 pontos, versus 780 valores de “U” em áreas de 10x10 m2, versus 195 valores de “U” em áreas de 20x20 m2. Verifique a frequência acumulada para a primeira faixa.

Estimativa de valor de uma variável em um dado ponto Suponha que se deseje conhecer o valor de uma variável “V” na posição 65E,137N conhecendo-se o valor da variável nos seguintes pontos:

Estimativa de valor de uma variável em um dado ponto Configuração dos dados:

Estimativa de valor de uma variável em um dado ponto Método dos polígonos Escolhe como estimativa o valor da variável no ponto mais próximo Nesse caso, o ponto 63E,140N é o mais próximo e o valor de “V” nele é de 696 ppm Assume-se portanto que em 65E,137N o valor de “V” é também 696 ppm

Estimativa de valor de uma variável em um dado ponto Método da triangularização: O método dos polígonos gera uma certa descontinuidade O método da triangularização remove possíveis descontinuidades ajustando-se um plano que passa por três pontos amostrais A equação do plano pode ser expressa por: No caso em estudo “x” corresponderia à coordenada na direção leste-oeste, “y” corresponderia à coordenada na direção norte-sul e z corresponderia ao valor da variável “V” Usando-se os pontos referentes as amostras com 696 ppm, 227 ppm e 606 ppm pode-se estimar a equação do plano que passa pelos três pontos amostrais

Estimativa de valor de uma variável em um dado ponto Método da triangularização: Com base nos três pontos experimentais obtem-se:

Estimativa de valor de uma variável em um dado ponto Método da triangularização: Resolvendo-se o sistema de três equações com três incógnitas obtem-se a=-11,250; b=41,614 e c=-4421,159. A equação para estimar o valor de “V” na área triangular é: O valor de “V” para x=65 e y=137 é: 548,7 ppm

Estimativa de valor de uma variável em um dado ponto Método da média local: O valor de “V” no ponto é obtido por média aritmética de todos os valores nas próximos ao ponto. Nesse caso, obtem-se V=603,7 ppm

Estimativa de valor de uma variável em um dado ponto Método da média local: O valor de “V” no ponto é obtido por média aritmética de todos os valores nas próximos ao ponto. Nesse caso, obtem-se V=603,7 ppm

Estimativa de valor de uma variável em um dado ponto Método do inverso da distância: Por esse método o valor de “V” em um dado ponto é obtido fazendo- se uma média ponderada, onde os pesos é o inverso da distância entre o ponto onde se quer conhecer o valor e o ponto de valor conhecido, ou seja: em que d1, d2, ...,dn representam as distâncias até os n pontos conhecidos e v1, v2,...,vn são os valores de “V” conhecidos

Estimativa de valor de uma variável em um dado ponto Método do inverso da distância: Uma outra alternativa é como peso o inverso da distância entre o ponto onde se quer conhecer o valor e o ponto de valor conhecido elevada à uma da potência (p), ou seja:

Estimativa de valor de uma variável em um dado ponto Método do inverso da distância: Uma outra alternativa é como peso o inverso da distância entre o ponto onde se quer conhecer o valor e o ponto de valor conhecido elevada à uma da potência (p), ou seja:

Estimativa de valor de uma variável em um dado ponto Método de kriging (krigagem):

Estimativa de valor de uma variável em um dado ponto Método de kriging: Equações para calcular a função de co-variância: Essas equações correspondem ao seguinte variograma:

Estimativa de valor de uma variável em um dado ponto Método de kriging: Na equação: C0 é chamado de efeito pepita; a é chamado de alcance (range); C0+C1 é chamado de patamar

Estimativa de valor de uma variável em um dado ponto Método de kriging: Tabela das distâncias entre todos os pares de pontos

Estimativa de valor de uma variável em um dado ponto Método de kriging: Usando C0=0; a=10; e C1=10 estimados a partir dos dados experimentais existentes obtem-se:

Estimativa de valor de uma variável em um dado ponto Método de kriging: Para obter o valor de “V” em um dado ponto primeiro determina-se o vetor peso (w) dado por: w=C-1.D Em que C é uma matriz quadrada e D é um vetor dados por:

Estimativa de valor de uma variável em um dado ponto Método de kriging: Substituindo-se os valores de h na matriz C e no vetor D obtem-se:

Estimativa de valor de uma variável em um dado ponto Método de kriging: Calculando-se a inversa da matriz C e multiplicando-a pelo vetor D obtem-se: Multiplicando-se os valores de wi por vi obtem-se:

Estimativa de valor de uma variável em um dado ponto Método de kriging: Calculando-se a inversa da matriz C e multiplicando-a pelo vetor D obtem-se:  é chamado de parâmetro de Lagrange

Estimativa de valor de uma variável em um dado ponto Método de kriging: A escolha de um modelo de covariância (ou correlograma ou variograma) é um pré-requisito para a krigagem; Embora seja mais difícil de ser calculada a estimativa por krigagem é mais flexível; O processo de cálculo pode necessitar do cálculo de covariâncias para distâncias para as quais não existe dados experimentais disponíveis; O processo de cálculo não garante a existência de uma única solução;

Estimativa de valor de uma variável em um dado ponto Método de kriging: O processo de cálculo não garante a existência de uma única solução; A falta de uma estrutura definida nos dados experimentais disponíveis não justifica o uso do modelo de função aleatória espacialmente não correlacionada; A continuidade espacial pode não estar evidente devido ao insuficiente número de pontos amostrais, aos erros de amostragem ou à valores completamente fora da realidade.

Krigagem em um único ponto versus krigagem em bloco Block kriging (krigagem de bloco): Processo que busca estimar o valor médio de uma variável dentro de uma área local (a) valor de “V” dentro do bloco achureado (b) a (e) valor de “V” em cada um dos quatro pontos. Calculando-se a média dos valores obtidos de (b) até (e) obtem-se o valor obtido em (a)