1.1. COMPENSAÇÃO SÉRIE SISTEMAS II PROJETO DE SISTEMAS DE CONTROLE: Satisfazer uma série de quesitos em sua performance. Necessidade que a resposta a um comando apresente um mínimo de erro de regime permanente. O sistema não deve ser afetado significativamente por mudanças em seus parâmetros. Resposta a um comando com estabilidade e rapidez, apresentando razoável imunidade a distúrbios. SISTEMAS II

1.2. COMPENSAÇÃO SÉRIE COMPENSAÇÃO SÉRIE: consiste na alteração da estrutura de controle, através da inserção de um dispositivo no caminho direto de atuação do controle. SISTEMAS II

2. COMPENSAÇÃO POR ATRASO DE FASE CONCEITO: consiste na atenuação do ganho na freqüência de 0 dB, permitindo com isto o incremento do coeficiente de erro estacionário. RESULTADOS: decréscimo da banda de passagem e aumento do ganho em baixa freqüência. VANTAGENS: reduz o erro de regime permanente e suprime o ruído de freqüência elevada. DESVANTAGENS: torna a resposta mais lenta ou não melhora o transitório. APLICAÇÃO: quando se quer ganhos estacionários elevados. NÃO APLICÁVEL: quando não há em freqüência alguma do sistema o valor de MF desejada. SISTEMAS II

SÍNTESE ATIVA: LAG NETWORK Gc(s) = Vo(s) / Vi(s) = - Z2(s) / Z1(s) 3.1. SÍNTESE DO COMPENSADOR DE ATRASO SÍNTESE ATIVA: LAG NETWORK Gc(s) = Vo(s) / Vi(s) = - Z2(s) / Z1(s) SISTEMAS II

SÍNTESE PASSIVA: LAG NETWORK Gc(s) = Vo(s) / Vi(s) 3.2. SÍNTESE DO COMPENSADOR DE ATRASO SÍNTESE PASSIVA: LAG NETWORK Gc(s) = Vo(s) / Vi(s) SISTEMAS II

4. ATRASO: MAPA PÓLO-ZERO Gc(s) = Kc (Ts + 1) / (βTs + 1) Gc(s) = (Kc / β).[s + (1/T)] / [s + (1/(βT))] SISTEMAS II

5. ATRASO: RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA Variação do Módulo do Compensador: 0 dB até (– 20 log β) Variação da Fase do Compensador: 0° até (-60°) Pontos de inflexão do Compensador: 1 / (βT) e (1 / T) SISTEMAS II

6.1. ATRASO: PROJETO PELO ROOT LOCUS O projeto do compensador é guiado basicamente pelas especificações de erro estacionário. Se o sistema apresenta um bom comportamento transitório, porém pouca precisão, o problema se torna a aumentar o ganho sem influenciar significativamente o transitório. Isto implica que o Root Locus não pode ser alterado significativamente nas vizinhanças do par de pólos dominantes, ao mesmo tempo em que se ajusta o ganho necessário. Por estes motivos, é necessário que o compensador apresente uma pequena contribuição angular ( < de 5 ) nos pólos dominantes. SISTEMAS II

6.2. ATRASO: PROJETO PELO ROOT LOCUS Para garantir isto, loca-se o pólo e o zero próximos da origem. Se esta condição é cumprida, podemos dizer que: | (1/) [(s+1/T) / (s+1/T)] | s = p1  1/ (a contribuição do módulo do compensador avaliado no pólo dominante p1 é aproximadamente igual a 1/) A expressão mostra que o ganho a laço aberto pode ser aumentado de um fator  sem alteração significatica da resposta transitória. Nota-se que o coeficiente de erro estacionário do sistema será também aumentado de um fator . SISTEMAS II

6.3. ATRASO: PROJETO PELO ROOT LOCUS O procedimento de ajuste do compensador pelo Lugar das Raízes é o seguinte: 1.) Desenha-se o Root Locus do sistema não compensado. Baseando-se nas especificações de resposta transitória, determina-se uma posição adequada para o par de pólos dominantes de laço fechado, de modo que pertençam ao Root Locus. 2.) Determina-se o ganho pela condição do módulo. 3.) Determina-se o aumento necessário no coeficiente de erro estacionário para cumprir a especificação. SISTEMAS II

6.4. ATRASO: PROJETO PELO ROOT LOCUS 4.) Determina-se o pólo e o zero do compensador que provêm o coeficiente de erro estacionário sem alterar significativamente o Root Locus. 5.) Desenha-se o Root Locus do sistema compensado verificando se há mudança apreciável no par de pólos dominantes. 6.) Ajusta-se o ganho do amplificador que loca os pólos de malha fechada sobre os pólos desejados. SISTEMAS II

7.1. ATRASO: PROJETO POR BODE A função principal de um compensador de atraso de fase é prover atenuação do ganho do sistema nas vizinhanças da freqüência de 0 dB, de forma a aumentar a Margem de Fase. O procedimento de projeto do compensador através de diagramas de Bode é útil quando a especificação está sob a forma de grandezas no domínio freqüência ou sob forma de coeficientes de erro estático. SISTEMAS II

7.2. ATRASO: PROJETO POR BODE Os passos para o projeto são os seguintes: 1.) Determina-se o ganho a laço aberto que satisfaz o valor desejado de coeficiente de erro estacionário. 2.) Usando-se o ganho determinado, traçam-se os diagramas de Bode do sistema, determinando-se a Margem de Ganho e a Margem de Fase. SISTEMAS II

7.3. ATRASO: PROJETO POR BODE 3.) Se as especificações de Margem de Fase e Margem de Ganho não forem cumpridas, determina-se a freqüência onde o sistema apresenta a Margem de Fase desejada, com uma tolerância de 5 a 10, de forma a compensar o atraso inerente ao próprio compensador. Esta será a nova freqüência de 0 dB. 4.) Escolhe-se a freqüência de quebra do compensador, w1 = 1/T, de uma oitava a uma década abaixo da nova freqüência de 0 dB. 5.) Determina-se o ganho necessário para levar a curva de módulo ao ponto de 0 dB, na freqüência já escolhida. A atenuação vale -20 log . Determinando o valor de , determina-se a outra freqüência de quebra do compensador, w2 = 1/T. SISTEMAS II

8. COMPENSAÇÃO POR AVANÇO DE FASE CONCEITO: adição de fase positiva perto da freqüência de 0 dB, para aumentar a MF e locar os pólos dominantes em uma boa situação. RESULTADOS: aumento da banda de passagem e do ganho em altas freqüências. VANTAGENS: resposta rápida e controle do transitório. DESVANTAGENS: requer amplificação adicional e aumenta a susceptibilidade a ruídos. APLICAÇÃO: quando se quer resposta transitória rápida. NÃO APLICÁVEL: quando a fase decresce rapidamente perto da freqüência de 0 dB. SISTEMAS II

SÍNTESE ATIVA: LEAD NETWORK Gc(s) = Vo(s) / Vi(s) = - Z2(s) / Z1(s) 9.1. SÍNTESE DO COMPENSADOR DE AVANÇO SÍNTESE ATIVA: LEAD NETWORK Gc(s) = Vo(s) / Vi(s) = - Z2(s) / Z1(s) SISTEMAS II

SÍNTESE PASSIVA: LEAD NETWORK Gc(s) = Vo(s) / Vi(s) 9.2. SÍNTESE DO COMPENSADOR DE AVANÇO SÍNTESE PASSIVA: LEAD NETWORK Gc(s) = Vo(s) / Vi(s) SISTEMAS II

10. AVANÇO: MAPA PÓLO-ZERO Gc(s) = Kc α (Ts + 1) / (αTs + 1) Gc(s) = Kc [s + (1/T)] / [s + (1/(αT))] SISTEMAS II

11. AVANÇO: RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA Variação do Módulo do Compensador: [– 20 log (1/α)] até 0 dB Variação da Fase do Compensador: 0° até (+ 60°) Pontos de inflexão do Compensador: (1 / T) e [1 / (αT)] SISTEMAS II

12.1. AVANÇO: PROJETO PELO ROOT LOCUS 1.) Desenha-se o Root Locus do sistema não compensado. Das especificações, determina-se a locação adequada para o par de pólos dominantes. 2.) No Root Locus, verifica-se se com o simples ajuste de ganho é possível obter as raízes especificadas. Se não for possível, calcula-se o ângulo necessário para que aquelas raízes passem a pertencer ao Root Locus. Este ângulo será suprido pelo compensador. SISTEMAS II

12.2. AVANÇO: PROJETO PELO ROOT LOCUS 3.) Se nenhum coeficiente de erro estático foi especificado, determinam-se o pólo e o zero do compensador para suprir a fase calculada no 2.) passo, de forma que o pólo e o zero fiquem o mais próximo possível, maximizando . Se algum coeficiente de erro estático foi especificado, é necessário efetuar o projeto pela Resposta em Freqüência. 4.) Determina-se o ganho necessário pelo critério do módulo. SISTEMAS II

12.3. AVANÇO: PROJETO PELO ROOT LOCUS 5.) Confere-se se a configuração final do Root Locus atende efetivamente as especificações. Se o sistema ainda não apresenta o comportamento desejado, altera-se a posição das raízes ou reloca-se o pólo e o zero do compensador. O procedimento é repetido até que se obtenha o cumprimento das especificações. Se um coeficiente de erro estático muito grande é especificado, haverá a necessidade da inserção de um compensador de atraso em cascata. Se a fase é muito grande, insere-se outro compensador de avanço em cascata. SISTEMAS II

13.1. AVANÇO: PROJETO POR BODE 1.) Determina-se o ganho a laço aberto que satisfaz os requisitos de erro estacionário. 2.) Calcula-se a Margem de Fase do sistema não compensado, porém com o ganho já calibrado. 3.) Determina-se o acréscimo de fase necessário para cumprir com a especificação de Margem de Fase. SISTEMAS II

13.2. AVANÇO: PROJETO POR BODE 4.) Determina-se, a partir do 3.) passo, o fator  do compensador, utilizando-se a expressão do ponto de máxima defasagem: sen( m ) = (1-) / (1+)   = (1-sen m) / (1+sen m) 5.) Determina-se, então, a freqüência onde o ganho do sistema não compensado é igual a -20 log (1/ 1/2). Esta será a nova freqüência de 0 dB, correspondente a freqüência wm, de máxima defasagem do compensador. Este passo é iterativo, podendo implicar em retorno ao 3.) passo, se a tolerância de fase utilizada, devido ao escorregamento da freqüência de 0 dB para a direita, for insuficiente. SISTEMAS II

13.3. AVANÇO: PROJETO POR BODE 6.) Determina-se o zero do compensador: wm = 1 / (1/2 T)  T = 1 / (wm 1/2) 7.) Determina-se os pontos de quebra do compensador: w1 = 1 / T w2 = 1 /(T) 8.) Calcula-se o ganho do amplificador: Kc = 1 /  SISTEMAS II

14. COMPENSAÇÃO POR AVANÇO-ATRASO CONCEITO: é uma rede linear composta de 2 pólos e 2 zeros, capaz de prover, em função da freqüência, defasagens positivas ou negativas. APLICAÇÕES: nos casos em que há necessidade de melhorar tanto a performance transitória (típico do compensador de avanço unicamente) como a de regime permanente (típico do compensador de atraso unicamente). SISTEMAS II

15.1. SÍNTESE DO AVANÇO-ATRASO SÍNTESE ATIVA: LAG-LEAD NETWORK Gc(s) = Vo(s) / Vi(s) = - Z2(s) / Z1(s) SISTEMAS II

SÍNTESE PASSIVA: LAG-LEAD NETWORK Gc(s) = Vo(s) / Vi(s) 15.2. SÍNTESE DO AVANÇO-ATRASO SÍNTESE PASSIVA: LAG-LEAD NETWORK Gc(s) = Vo(s) / Vi(s) SISTEMAS II

16. COMPENSADOR AVANÇO-ATRASO: Gc(s) Kc.[(T1s + 1).(T2s + 1)] / [((T1/)s + 1).(T2s + 1) Gc(s) = Kc. [(s + (1/T1)).(s + (1/T2))] / [s + (/T1).(s + (1/T2)] Efeito de um compensador de avanço: zero mais próximo da origem  |p| > |z| Efeito de um compensador de atraso: pólo mais próximo da origem  |z| > |p| SISTEMAS II

17.1. AVANÇO-ATRASO: ROOT LOCUS 1.) Das especificações, determina-se a locação adequada para o par de pólos dominantes. 2.) Determina-se o ganho Kc do amplificador para suprir a especificação de coeficiente de erro estático. 3.) Calcula-se a porção de avanço do compensador para suprir as condições de módulo e fase, de tal forma que o par de pólos dominantes passe a pertencer ao Root Locus. | [p1+(1/T1)] / [p1+(/T1)] | . | Kc G(p1) | = 1  [p1+(1/T1)] / [p1+(/T1)] =  G(p1) =  = 180 +  G(p1) SISTEMAS II

17.2. AVANÇO-ATRASO: ROOT LOCUS 4.) Tendo já definido o valor de , calcula-se a porção de atraso, de forma que: | [p1+(1/T2)] / [p1+(1/T2)] |  1  [p1+(1/T2)] / [p1+(1/T2)] > -3 5.) Avalia-se a função de transferência de malha fechada e, caso as especificações não sejam cumpridas, retorna-se ao 1.) ou ao 4.) passo (pode se fazer várias iterações entre os passos 3.) e 4.) para efetivamente ter p1 na malha fechada). SISTEMAS II

18.1. AVANÇO-ATRASO: PROJETO POR BODE 1.) Determina-se o ganho a laço aberto necessário para prover a especificação de coeficiente de erro estacionário. Ajusta-se o ganho do amplificador para tanto. 2.) Para o sistema não compensado, desenha-se o diagrama de Bode determinando-se a Margem de Fase e a Margem de Ganho. 3.) Determina-se a nova freqüência de 0 dB, de forma que se possa com um simples compensador de avanço suprir a fase necessária para a especificação de Margem de Fase. O máximo ângulo de defasagem do compensador deve ser limitado em 65. SISTEMAS II

18.2. AVANÇO-ATRASO: PROJETO POR BODE 4.) Determina-se a freqüência de quebra, w1 = 1/T2, da porção de atraso do compensador, de uma oitava a uma década abaixo da nova freqüência de 0 dB. 5.) Determina-se o fator  necessário para a porção de avanço suprir a Margem de Fase desejada, com uma tolerância de 5 a 15. 6.) Determina-se o ganho do sistema compensado na freqüência de 0 dB. SISTEMAS II

18.3. AVANÇO-ATRASO: PROJETO POR BODE 7.) Traça-se uma reta, com a inclinação de 20 dB/década, que passa pela nova freqüência de 0 dB, com o ganho necessário para levar o ganho do sistema não compensado a 0 dB. 8.) Determina-se a freqüência de quebra da porção de avanço, /T1, pela intersecção da reta com a linha de 0 dB. Da freqüência de quebra, determina-se T1. 9.) Desenha-se o diagrama de Bode do sistema compensado, verificando se ele cumpre as especificações. Se elas não forem cumpridas há duas alternativas: se a freqüência de 0 dB encontra-se à esquerda do pico de fase, aumenta-se o ganho; se estiver à direita, aumenta-se . SISTEMAS II