£ { f(t) } = F (s) = 0+ f(t) e-st dt 1. TRANSFORMADA DE LAPLACE DEFINIÇÃO: Seja f(t) a função real de uma variável real t, definida para t>0. Então: £ { f(t) } = F (s) = 0+ f(t) e-st dt onde: s = variável complexa =  + j ,  = números reais j =  (-1) A Transformada de Laplace é usada para converter um sinal no domínio de tempo em uma função de variáveis complexas. A variável real t sempre representa o tempo. SISTEMAS I

2. TABELA SISTEMAS I TABELA COM ALGUNS PARES DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE: 1. Delta de Dirac:  (t) 2. Degrau: u-1 (t) 3. Rampa: u-2 (t) 4. Multiplicação por tn 5. Exponencial: e-at 6. Senóide: sin  (t) 7. Cossenóide: cos  (t) Referência: SPIEGEL, Murray R. Transformadas de Laplace – Coleção Schaum. São Paulo: Mc Graw Hill, 1979. SISTEMAS I

3. PROPRIEDADES SISTEMAS I 1. Definição 2. Linearidade 3. Superposição TEOREMAS: 1. Definição 2. Linearidade 3. Superposição 4. Deslocamento em freqüência 5. Deslocamento no tempo 6. Escalonamento 7. 8. 9. Diferenciação no tempo 10. Integração no tempo 11. Valor final 12. Valor inicial SISTEMAS I

4. TEOREMA DO VALOR FINAL SISTEMAS I Teorema que permite que se conheça o valor da função f(t) no tempo t =  (tempo infinito), através da função F(s). O comportamento da f(t) em regime permanente é igual ao comportamento de s.F(s) na vizinhança de s = 0. Este teorema só é aplicável se e somente se o limite de s. F(s), quando s tender a zero, existir. Portanto: o teorema do valor final só é aplicável para sistemas estáveis. SISTEMAS I

5. TEOREMA DO VALOR INICIAL Teorema que permite que se conheça o valor da função f(t) no instante t = 0+ (tempo inicial), diretamente da Transformada de Laplace de f(t). Ao contrário do Teorema do Valor Final, este teorema não apresenta limitações quanto a posição dos pólos de F(s). SISTEMAS I

6. FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA: expressão polinomial de F(s). F(s) = N(s) / D(s) = Numerador (s) / Denominador (S), onde: Singularidades: raízes de N(s) ou D(s). Zeros: raízes de N(s)  levam a expressão F(s) a zero. Pólos: raízes de D(s)  levam F(s) ao infinito. SISTEMAS I

7. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE TRANSFORMADA DE LAPLACE: transforma um problema da variável no domínio tempo para o domínio da variável complexa s. SOLUÇÃO: é obtida uma solução do problema transformado, em termos de s. TRANSFORMADA INVERSA: inversão da solução transformada (no domínio da variável complexa s), a fim de se obter a solução no domínio do tempo. SISTEMAS I

8.a. TRANSFORMADA INVERSA: REALIZAÇÃO 1. EMPREGO DE TABELAS: as tabelas de pares de transformadas podem ser usadas para inverter a Transformada de Laplace, desde que o caso dado encontre-se tabulado. Referência: SPIEGEL Murray R. Manual de Fórmulas e Tabelas Matemáticas - Coleção Schaum. São Paulo: Mc Graw Hill, 1973. 2. CONVOLUÇÃO: desde que seja possível decompor uma transformada num produto de duas outras transformadas cujas inversões sejam conhecidas, a mesma consitirá na resolução de uma integral de convolução. Se: f1(t)  F1(s); f2(t)  F2(s) então: f1(t) * f2(t)  F1(s) . F2(s) * = símbolo da convolução. SISTEMAS I

8.b. TRANSFORMADA INVERSA: REALIZAÇÃO 3. DECOMPOSIÇÃO DA FUNÇÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS: H(s) = (a0 + a1s + a2s2 + ... + ansn) / (b0 + b1s + b2s2 + ... + bnsn) ou na forma fatorada: H(s) = N(s) / D(s) = N(s) / [(s-p1)(s-p2)...(s-pn)] onde: grau do numerador N(s) < grau do denominador D(s) H(s) = [K1/(s-p1)] + [K2/(s-p2)] + ... + [Kn/(s-pn)] onde: Ki = resíduos dos pólos pi Obs.: Se o grau de N(s) é igual ou maior do que o grau de D(s), então N(s) deverá ser dividido por D(s), onde obtém-se: H(s) = q(s) + [ N`(s) / D(s) ] onde N`(s) tem grau menor que D(s) SISTEMAS I

8.c. TRANSFORMADA INVERSA: REALIZAÇÃO 3.1. RECOMPOSIÇÃO DA FUNÇÃO NO DOMÍNIO TEMPO: Ki = resíduos dos pólos pi = H(s).(s-pi) |s=pi ou seja: cada termo na forma [Ki / (s-pi)] se transforma num par de função do tipo: Fi (s) = Ki / (s-pi) = Ki [1 / (s-pi)] Pela tabela de transformadas de Laplace: fi(t) = Ki epit A função f(t) obtém-se, finalmente, por recomposição: f(t) = f1(t) + f2(t) + ... + fn(t) SISTEMAS I

8.d. TRANSFORMADA INVERSA: REALIZAÇÃO 3.2. DECOMPOSIÇÃO DA FUNÇÃO PARA PÓLOS MÚLTIPLOS: Se a função H(s) contém um pólo múltiplo de ordem n em p1, o termo correspondente na expansão em frações parciais será: [K11 / (s-p1)] + [K12 / (s-p1)2] + ... + [K1n / (s-p1)n] A constante K1i nesta equação é dada por: K1i = [1 / (n-i)!] [dn-i / dsn-i] H(s).(s-p1)n |s = p1 SISTEMAS I