Cinemática da Turbulência Homogênea e Isotrópica Capítulo 4 Cinemática da Turbulência Homogênea e Isotrópica

Introdução A maioria dos escoamentos são cizalhantes, os quais são anisotrópicos e não homogêneos, como pode ser visualizado na figura Estruturas Coerentes: anisotrópicas Pequenas Estruturas: tendência à isotropia e homogeneidade

Introdução O cizalhamento é necessário para gerar instabilidades, as quais são anisotrópicas Logo, a nível das chamadas estruturas coerentes não existe isotropia, porém existe para as pequenas estruturas da turbulência;

Introdução Anisotropia Isotropia

Introdução Turbulência isotrópica na superfície do mar

Introdução Turbulência de grelha

Introdução Homogeneidade: é a invariância estatística das propriedades dos escoamentos quando se promove uma translação do sistema de eixo

Introdução Caso não se observa variações em qualquer propriedade estatística, ou seja A homogeneidade é uma propriedade direcional

Introdução Isotropia: é a invariância estatística das propriedades de um escoamento em relação a uma rotação no sistema de eixo. Compreende-se, então, que isotropia implica em homogeneidade. A recíproca não é verdadeira.

Cinemática da Turbulência Isotrópica Formalismo Estatístico Supor um experimento no qual se interessa por uma propriedade genérica , onde , sendo uma amostra no espaço . A propriedade se refere a um escoamento. A figura ilustra um conjunto n de amostras.

Formalismo Estatístico

Formalismo Estatístico Dadas as n amostras, pode-se proceder a definições estatísticas, como segue: Média de conjunto Média temporal

Hipótese de Ergodicidade Formalismo Estatístico Hipótese de Ergodicidade Momentos estatísticos de ordem n: Seja o conjunto de variáveis abaixo:

Define-se um momento estatístico de ordem n como sendo: Formalismo Estatístico Define-se um momento estatístico de ordem n como sendo: Tem-se, a intensidade turbulenta: Exemplo: Momento de segunda ordem

Formalismo Estatístico Ilustração:

Formalismo Estatístico Estendendo este exemplo às três componentes de velocidade, pode-se obter o tensor de Reynolds, composto de seis momentos de segunda ordem:

O seu traço fornece a energia cinética turbulenta: Formalismo Estatístico Observa-se que este tensor é simétrico e pode ser rescrito em notação tensorial como segue: O seu traço fornece a energia cinética turbulenta:

Classificação da turbulência Turbulência não homogênea e não isotrópica. Turbulência homogênea e não isotrópica. Turbulência homogênea e isotrópica. Neste último caso, tem-se:

Transformada de Fourier Transformação das Equações de Navier-Stokes do espaço físico para o espaço de Fourier Transformada de Fourier Seja uma função periódica qualquer. Define-se a sua transformada de Fourier como segue:

Transformada Inversa de Fourier Transformação das Equações de Navier-Stokes do espaço físico para o espaço de Fourier Transformada Inversa de Fourier

Operadores de interesse para transformação de Navier-Stokes Transformada da derivada de uma função Seja Logo

Operadores de interesse para transformação de Navier-Stokes Transformada do gradiente de uma função Transformada do divergente de um vetor

Operadores de interesse para transformação de Navier-Stokes Transformada do laplaciano de um vetor Transformada do produto de duas funções Integral de convolução: interações triádicas não lineares.

Operadores de interesse para transformação de Navier-Stokes Os parâmetros de transformação de f e g são: e onde

Operadores de interesse para transformação de Navier-Stokes Consideremos as equações de NS no espaço físico Transformada da conservação da massa

Operadores de interesse para transformação de Navier-Stokes Plano 

Transformada de Fourier das Equações de Navier-Stokes Operadores de interesse para transformação de Navier-Stokes Transformada de Fourier das Equações de Navier-Stokes Sendo Então,

Transformada de Fourier das Equações de Navier-Stokes Este Termo transformado também pertence ao plano . Nota-se, então, que a transformada da pressão é colinear com o vetor número de onda, sendo portanto, perpendicular ao plano .

Transformada do Termo Não Linear Transformada de Fourier das Equações de Navier-Stokes Transformada do Termo Não Linear Também pertence ao plano  Pertence ao plano  A transformada do primeiro termo já é conhecida. Basta agora determinar a projeção do segundo termo sobre o plano .

Transformada do Termo Não Linear Transformada de Fourier das Equações de Navier-Stokes Transformada do Termo Não Linear Seja o tensor projeção no plano defino abaixo Projetando-se um vetor qualquer com este tensor

Transformada do Termo Não Linear Transformada de Fourier das Equações de Navier-Stokes Transformada do Termo Não Linear Fazendo-se o produto escalar da projeção do vetor com o o vetor número de onda Isto demonstra que o tensor definido assim, projeta qualquer vetor no plano .



Logo, Observa-se que Navier-Stokes no espaço de Fourier não depende do conceito de pressão.

 Taxa de variação da quantidade de movimento Cada termo desta equação pode ser interpretado fisicamente, sendo esta interpretação mais rica no espaço de Fourier, como está ilustrado abaixo.  Taxa de variação da quantidade de movimento  Fluxo líquido difusivo de quantidade de movimento.

Comentários sobre a solução desta equação. Transferência líquida não linear de quantidade de movimento. Observa-se que este processo é o resultado das interações físicas entre as estruturas turbilhonares que compõem o escoamento. Aqui elas são modeladas pelas interações não lineares triádicas que compõem a integral de convolução Comentários sobre a solução desta equação.

Tensor Espectral e Espectro de Energia Cinética Turbulenta Ele é definido como sendo a TF da correlação de segunda ordem das flutuações de velocidade relativas a duas direções onde é um momento de Segunda ordem.

Observa-se que foi feita a hipótese de homogeneidade e isotropia. Fazendo-se i=j obtém-se o traço do tensor: Define-se, a partir do traço do tensor espectral o espectro de energia cinética turbulenta

Na figura abaixo visualiza-se a distribuição espectral de energia cinética turbulenta, o que é uma forma poderosa de se entender como a atividade turbulenta de um escoamento se dá, em função dos tamanhos das diferentes estruturas turbilhonares que o caracterizam.

Escoamento sobre um degrau, ilustrando o processo de transmissão de injeção de energia do escoamento médio para os turbilhões da camada cizalhante e para o interior da cavidade.

Turbilhões maiores são formados de turbilhões menores. A energia de formação e manutenção destes turbilhões menores deve ser fornecida pelos turbilhões receptores de energia, pelo processo já explicado. Desta feita explica-se o processo físico da chamada cascata direta de energia, ou seja, o transporte não linear das grandes para as menores estruturas.

Equação de Conservação da Energia Cinética Turbulenta Partindo-se das equações de Navier-Stokes, a qual é também válida para as flutuações de velocidade, multiplicando-as por Fazendo-se a média < >, manipulando-se algebricamente, obtém-se a equação de transporte para o tensor espectral e consequentemente para o seu traço: A função I depende de momentos de terceira ordem. Ela está bem definida em Lesieur (1995). O tensor

Fazendo-se a soma sobre as três componentes do traço do tensor espectral (U11, U22 e U33) e utilizando-se a definição de energia cinética turbulenta, obtém-se a sua equação de transporte: O primeiro termo desta equação representa a taxa de variação da energia cinética turbulenta; O segundo representa a transferência de energia ou a sua dissipação, por efeitos moleculares, dependendo do número de onda em questão; O termo do lado direito representa a transferência não linear entre os turbilhões de diferentes números de onda;

Teoria de Kolmogorov (Kolmogorov, 1941) Esta é a teoria mais famosa sobre a turbulência isotrópica. Sua base é a análise dimensional. Hipótese de equilíbrio: toda energia injetada no espectro deve ser dissipada pelos efeitos viscosos. Na teoria de Kolmogorov, assume-se que o espectro de energia, para números de onda maiores que kI , depende apenas de e de k.

Fazendo-se uma análise dimensional baseada no teorema dos de Vaschy-Buckingham, Kolmogorov chegou à seguinte expressão: Determinando-se os valores de e de tem-se que: onde CK=1,4 é a constante universal de Kolmogorov, determinada analiticamente.

k-5/3 Uma variedade de experimentos em laboratório e de experimentos numéricos têm sido realizados objetivando-se a comprovação desta lei, para uma variedade de valores do número de Reynolds. Todos eles têm resultado na lei de Kolmogorov

Escalas da turbulência Antes de aprofundar qualquer tipo de estudo sobre os escoamentos turbulentos é interessante fazer uma análise das escalas características da turbulência: Tempo Grandes escalas Pequenas escalas Comprimento Energia Vorticidade

Escalas da turbulência Escalas de Kolmogorov Escalas dissipativas de Kolmogorov: toma-se um turbilhão de tamanho característico r com uma velocidade característica vr originário em um fluido de viscosidade . Define-se então um número de Reynolds local: O quadrado deste parâmetro representa a importância relativa das forças de inércia e das forças viscosas. Pela lteoria de Kolmogorov, , ver Lesieur (1994)

Escalas da turbulência Substituindo-se esta última equação na precedente, tem-se que: Situando-se a escala r tal que os efeitos viscosos sejam pequenos pode-se afirmar que Rer é maior que 1. Se r diminui Rer diminui também e se r<ld , onde ld é definido abaixo, então Rer torna-se menor que 1 e os efeitos viscosos passam a dominar os efeitos de inércia. Esta escala é a escala dissipativa de Kolmogorov.

Logo os turbilhões de tamanhos menores que ld são dissipados por efeitos viscosos e não podem se desenvolver. Esta análise permite entender porque o espectro de energia cinética cai tão rapidamente quando se aproxima do número de onda dissipativo de Kolmogorov,

A título de exemplo, a escala de Kolmogorov no interior da camada limite atmosférica é da ordem de 1 mm, enquanto que no caso de uma turbulência de grelha é da ordem de 0,1 mm. Fazendo-se uma análise dimensional e expressando-se o tempo característico em função de  e , chega-se à seguinte expressão para este parâmetro, relativo às estruturas dissipativas de Kolmogorov.

De forma semelhante deduz-se as escalas de velocidade, de vorticidade e de energia cinética turbulenta de Kolmogorov:

Escalas da turbulência Grandes Escalas da Turbulência As maiores estruturas de um escoamento são determinadas pela geometria que lhes dão origem. Sejam as escalas típicas do escoamento: L a escala de comprimento (por exemplo, o diâmetro de um cilindro) e U a escala de velocidade (a velocidade de transporte das grandes estruturas). Estabelece-se as seguintes relações:

Escalas da turbulência Taxa de dissipação viscosa Para os escoamentos turbulentos completamente desenvolvidos pode-se fazer a hipótese do equilíbrio: a dissipação viscosa é igual à taxa de injeção de energia cinética nas grandes escalas. Desta forma, pode-se expressar a dissipação viscosa como uma função de grandezas independentes da viscosidade. 

Escalas da turbulência Taxa de dissipação viscosa Desta forma pode-se expressar a taxa de dissipação como segue: Com esta equação diz-se que a taxa de dissipação pode ser estimada a partir de parâmetros relativos às grandes escalas, sem a participação da viscosidade.

Escalas da turbulência Relações Entre as Escalas da turbulência Dividindo-se as escalas de Kolmogorov pelas escalas das grandes estruturas da turbulência tem-se as relações procuradas:

Escalas Moleculares Versus Escalas de Kolmogorov Pela teoria cinética dos gases Já tinha sido visto que: Dividindo-se uma equação pela outra, tem-se que Com este resultado, chega-se à conclusão que as escalas de Kolmogorov são sempre maiores que as escalas moleculares, pelo menos para M<15.