Leandro Alberto Novak (UFPR) Múltiplas extrapolações de Richardson (MER) para reduzir e estimar o erro de discretização em CFD Leandro Alberto Novak (UFPR)

Introdução: Erro : E() =  -  Erro numérico:  solução analítica;   solução numérica. Erro numérico: E() = E (, n, , p)  erro de truncamento; n  erro de iteração;  erro de arredondamento; p erro de programação.

Estimativa do erro: URI() = ∞ -  ∞ = 1 + (1 - 2)/(qpL – 1) U erro numérico estimado; ∞ solução analítica estimada; ∞ = 1 + (1 - 2)/(qpL – 1) 1 e 2 = soluções numéricas obtidas em duas malhas (h2=grossa e h1=fina) com número diferente de nós, sendo cada uma destas malhas representada pelo tamanho dos seus elementos (h); q = h2 / h1 é a razão de refino entre as duas malhas; pL = ordem assintótica do erro de discretização.

E() = C1hpL + C1hP2 + C1hP3 + ...  = variável de interesse; h = tamanho dos elementos da malha; C1, C2, C3, ... = coeficientes que independem de h; pL, p2, p3, ... = ordens verdadeiras do erro de discretização; pL = ordem assintótica do erro de discretização (pL1; é a inclinação da curva do erro em um gráfico log(|E|) versus log (h) para h  0

URI(1) = (1 - 2)/(qPL – 1) As estimativas do erro de discretização : Estimativa a priori E() = C1hpL para h0 Estimativa a posteriori URI(1) = (1 - 2)/(qPL – 1)

erro entre a solução analítica estimada e a solução analítica Richardson: erro entre a solução analítica estimada e a solução analítica   Tc (°C) h P=2 p=4 p=6 5,0000E-01 5,0732E-02 2,5000E-01 1,4120E-02 1,9161E-03 1,2500E-01 3,6468E-03 1,5577E-04 3,8422E-05 ∞ = 1 + (1 - 2)/(qpL – 1)

Modelo matemático: Lapalce 2D: Condições de contorno:

Temperatura (x,y) Temperatura média

Modelo numérico: Equação de Lapalce 2D discretizada DF: Temperatura média:

Erro de discretização médio:

Tc (°C) – Variáveis de interesse versus h

solmed_T (°C) - Variáveis de interesse versus h

Tc (°C) - PE versus h

Tc (°C) - Emer versus h

Tc (°C) - Variáveis de interesse versus h – Consequências ordens

Resultados: A utilização da ordem efetiva equivocada (PE) impacta diretamente o resultado da simulação; A diferença entre Eh e Emer tendem a zero quando h0;

O resultado de Eh e Emer nas variáveis estudadas possuem bom comportamento mostrando-se até agora estáveis; É vantajoso utilizar o MER. Se chega a um bom resultado com uma malha menos refinada.

Próximos Passos: Testar o comportamento das variáveis de interesse com real 4 e real 16. Resolver numericamente problemas envolvendo as seguintes equações: Burgers; Navier-Stokes com formulação função de corrente e velocidade.