Otimização do método multigrid geométrico para sistemas de equações 2D em CFD Doutorando: Cosmo D. Santiago – MSc. Orientador: Carlos H. Marchi – Dr.Eng. Projeto Multigrid - IAE/CTA –maio/2008 Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica -PG-Mec - UFPR

Objetivos dessa apresentação Apresentar um resumo de resultados já obtidos. Atividades em andamento Resultados esperados

Objetivos dessa etapa da pesquisa Obter parâmetros ótimos do método multigrid geométrico para 2 sistemas de equações. Os parâmetros estudados são: - Iterações internas (ITI); - Número de níveis (L); - Influência do número de variáveis (N). Verificar a influência do número de variáveis no multigrid Verificar se os valores ótimos obtidos com os 2 sistemas são os mesmos obtidos para uma equação.

Problemas testes Equação de Laplace Equações de Navier Equações Burgers Laplace Navier Burgers (não-linear) (linear) (FAS) (CS/FAS) Esquema de comparação

Modelos Matemáticos – 2D Equação de Laplace A solução analítica é dada por T(x,y) = xy. Com as seguintes condições de contorno:

Modelos Matemáticos – 2D Equações de Navier (Termoelasticidade) onde: Cλ = (1+ λ)/(1- λ) e λ é a razão de Poisson é o campo de temperaturas. α é o coeficiente de expansão térmica u e v são deslocamentos

Modelos Matemáticos – 2D Solução analítica proposta e Com as seguintes condições de contorno: Superior: e . Inferior: e Direito: e Esquerdo: e

Modelos Matemáticos – 2D Equações de Burgers onde : p é a pressão dada por Shih et al. (1989) B é o termo fonte u e v representam as velocidades.

Modelos Matemáticos – 2D Solução analítica para as velocidades (SHIH et al., 1989) e As condições de contorno são: Superior: e Inferior: Direito: Esquerdo:

Modelo numérico Para os três problemas: Discretização com o Método de Diferenças Finitas Malha uniformes nas duas direções coordenadas Aproximações: UDS/CDS para os termos advectivos e difusivos, respectivamente Multigrid Geométrico com ciclo V Razão de engrossamento padrão (2) Restrição: Injeção Prolongação: Interpolação bilinear Solver padrão: MSI Condições de contorno de Dirichlet

Implementação Linguagem: Fortran/95 Multigrid Geométrico com Ciclo V Algoritmos: CS e FAS : Equação de Laplace e equações de Navier FAS : Equações de Burgers Tolerância

Resultados Equação de Laplace x Equações de Navier Iterações internas (ITI) (a) Iterações internas com CS (b) Iterações internas com FAS Fig. 1: Comparação do número de iterações internas com os esquemas CS e FAS Conclusão: ITIoptimum = 2 (para os dois problemas) Conclusão: ITIoptimum = 2 para Navier ITIoptimum = 8 para Laplace

Resultados Equação de Laplace x Equações de Navier Número de malhas (L) (a) Número de níveis com CS (b) Número de níveis com FAS Fig. 2: Comparação do número de níveis com os esquemas CS e FAS Para os dois problemas e os dois esquemas (CS/FAS) observa-se que:

Resultados Equação de Laplace x Equações de Navier Número de variáveis (N) (a) Ajuste de curva com CS (b) Ajuste de curva para Navier com FAS Fig. 3: Comparação do esforço computacional com CS e FAS Para os dois problemas e os dois esquemas (CS/FAS) observa-se que: MG: o tempo computacional cresce linearmente com o aumento do número de variáveis. SG : o tempo computacional cresce muito rapidamente com o aumento do número de variáveis.

Resultados Equação de Burgers (somente FAS) Fig. 6: Ajuste de curva para os 3 solvers Fig. 4: Comparação do número de iterações internas com o FAS Fig. 5: Comparação do número de níveis Observe-se que: Na Fig. 4, ITIoptimum = 5. Na Fig. 6: MG: o tempo de CPU cresce linearmente com o aumento do nº de variáveis. SG : o tempo de CPU cresce muito rapidamente com o aumento do nº de variáveis. Na Fig. 5,

Algumas conclusões CS FAS Resumo Problema Navier Laplace Burgers ITI L SG(p) MG(p) Navier 2 max ou max – 4 2.01 1.05 1.96 1.15 Laplace 2.06 1.06 6 ou 8 1.08 Burgers 5 max ou max – 3 1.92

Algumas conclusões Verificou–se que: Equação de Laplace x Equações de Navier Esquema CS ITIoptimum = 2, em qualquer malha. O ITI afeta significativamente o tempo de CPU. O número ótimo de malhas é próximo do máximo, isto é, Loptimum ≈ Lmaximum. O número de malhas pode afetar significativamente o tempo de CPU O tempo de CPU cresce aproximadamente linear com o aumento do número de variáveis. O acoplamento de duas equações não degenera a perfomance do multigrid quando comparado com o caso de uma equação.

Algumas conclusões Esquema FAS ITIoptimum = 8, (Equação de Laplace) ITIoptimum = 2, (Equações de Navier) O ITI afeta significativamente o tempo de CPU. Nº de níveis (Idem a conclusão com esquema CS). Acoplamento (Idem a conclusão com esquema CS). O tempo de CPU (Idem a conclusão com esquema CS)

Algumas conclusões Equações de Burgers (apenas esquema FAS) ITIoptimum = 5, em todas as malhas. O ITI afeta significativamente o tempo de CPU. Nº de níveis (Idem aos casos anteriores). Acoplamento (Idem aos casos anteriores). O tempo de CPU (Idem aos casos anteriores).

Próximas etapas Otimizar o método multigrid geométrico ciclo V para as equações de Navier-Stokes nas formulações: Função Corrente-Velocidade (mai/jun); Função Corrente-Vorticidade (jul/ago/set); Vorticidade –Velocidade (out/nov/dez); Modelo numérico: Mesmo usado com os problemas mostrado aqui.

Próximas etapas Resultados esperados: Otimizar o método multigrid geométrico ciclo V para problemas com duas equações; Mostrar que o acoplamento das equações não degenera a performance do método multigrid. Obter parâmetros ótimos do multigrid para as equações de Navier-Stokes em formulações alternativas.

Agradecimentos A Agencia Espacial Brasileira – AEB pelo suporte financeiro Laboratório de Experimentação Numérica (LENA) do Demec/UFPR; Prof. Marchi Meus amigos do LENA.