O que você deve saber sobre POLIEDROS O conhecimento sobre os sólidos geométricos é bastante aplicado na indústria, na engenharia e na arquitetura. Além disso, são utilizados com muita frequência por artistas contemporâneos na produção de suas obras.

I. Figuras geométricas • Linha: objeto matemático com apenas uma dimensão, caracterizando um comprimento ao qual podemos associar um número real, que é sua medida de comprimento. • Superfície: objeto matemático com duas dimensões, caracterizando uma área à qual podemos associar um número real, que é sua medida de área. Uma superfície pode ser plana ou não plana. • Sólido: objeto matemático com três dimensões, caracterizando um volume ao qual podemos associar um número real, que é sua medida de volume. POLIEDROS

I. Figuras geométricas Podemos separar as figuras espaciais em dois grandes grupos. Para distingui-los, é preciso cortá-los: poliedros: fornecem apenas superfícies poligonais; corpos redondos: fornecem uma secção não poligonal curva. Corpo Redondo Poliedro Região do corte Região do corte POLIEDROS 3 3

II. Definição, elementos e classificação • Faces: superfícies que delimitam o espaço, formando o sólido; • Arestas: os lados comuns de duas faces; • Vértices: os pontos comuns a três ou mais arestas. Vértice Aresta Face POLIEDROS

II. Definição, elementos e classificação Poliedro convexo Poliedro não convexo ou côncavo POLIEDROS

III. Relação de Euler Em todo poliedro convexo, a relação entre o número de faces F, o número de arestas A e o número de vértices V é sempre: POLIEDROS

IV. Poliedros regulares  São convexos; • Todas as suas faces têm o mesmo número de arestas; • De cada vértice parte o mesmo numero de arestas; • As faces são polígonos regulares. Tetraedro regular Hexaedro regular (cubo) Octaedro regular Dodecaedro regular Icosaedro regular Representação das cinco classes de poliedros regulares POLIEDROS

V. Prismas • Bases: as superfícies poligonais convexas P e P’ contidas nos planos  e , respectivamente • Faces laterais: as demais superfícies (quadriláteros) que formam o prisma. • Arestas laterais: pertencem somente às faces laterais, como CC’. • Arestas das bases: pertencem exclusivamente a uma das bases, como BC. • Altura: a distância h entre os planos  e  POLIEDROS

V. Prismas a) Classificação • Oblíquo: a reta r é perpendicular aos planos  e .  Reto: a reta r não é perpendicular aos planos  e . • Regular: os polígonos que delimitam as bases são regulares. De acordo com o polígono que delimita sua base, os polígonos podem ser triangulares, quadrangulares, pentagonais etc. b) Área da superfície • Área da base (Abase): é a área de uma face que é base • Área lateral (Alateral): é a soma das áreas das faces laterais • Área total (Atotal): é a soma da área lateral com a área das duas bases: c) Volume do prisma Medida da porção do espaço que ele ocupa. POLIEDROS

• Altura: a distância h, do vértice até o plano que contém a base VI. Pirâmides • Vértice: o ponto V • Base: o polígono S • Arestas da base: os lados do polígono S • Faces laterais: os demais polígonos (triângulos) que delimitam a pirâmide • Arestas laterais: os segmentos com uma das extremidades nos vértices da base • Altura: a distância h, do vértice até o plano que contém a base POLIEDROS

VI. Pirâmides a) Classificação • Retas: a projeção ortogonal do vértice sobre o plano  coincide com o centro da base. • Oblíquas: a projeção ortogonal do vértice sobre o plano  não coincide com o centro da base. • Regulares: a base é um polígono regular. As pirâmides também recebem uma nomenclatura de acordo com o polígono da base, podendo ser triangulares, quadrangulares, pentagonais etc. POLIEDROS

VI. Pirâmides b) Pirâmides regulares • Apótema da pirâmide (g): a altura de qualquer um dos triângulos que formam as faces laterais. Eles são sempre isósceles, eventualmente equiláteros. • Apótema da base (m): o raio da circunferência inscrita no polígono da base • Raio da base (r): o raio da circunferência circunscrita ao polígono da base Pirâmide regular hexagonal de altura h, arestas laterais a e arestas da base  POLIEDROS 12

VI. Pirâmides c) Área da superfície • Área da base (Abase): área da superfície poligonal que forma a base • Área lateral (Alateral): soma das áreas das faces laterais (superfícies triangulares) • Área total (Atotal): soma da área lateral com a área da base d) Volume da pirâmide POLIEDROS

Observe a figura. Sobre o armazenamento de mel em colmeias, 2 (UEL-PR) Observe a figura. Sobre o armazenamento de mel em colmeias, tem-se que o volume V de cada alvéolo, considerado como prisma regular hexagonal reto de altura h e arestas da base iguais a  é dado por: EXERCÍCIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: E POLIEDROS − NO VESTIBULAR

O volume do sólido obtido é: a) 198. b) 204. c) 208. d) 212. e) 216. 5 (UFRGS-RS) A partir de quatro dos vértices de um cubo de aresta 6, construído com madeira maciça, foram recortadas pirâmides triangulares congruentes, cada uma tendo três arestas de medida 3, conforme representado na figura 1. O sólido obtido após a retirada das pirâmides está representado na figura 2, a seguir. O volume do sólido obtido é: a) 198. b) 204. c) 208. d) 212. e) 216. EXERCÍCIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: A POLIEDROS − NO VESTIBULAR

Em qual percentual se deve reduzir o lado da base? 7 (UFPE) Uma fábrica de embalagens confecciona caixas na forma de paralelepípedos reto-retângulos com base quadrada. Pretende-se confeccionar caixas com volume 19% menor que o das anteriores, mantendo-se a mesma altura da embalagem e diminuindo-se o lado da base quadrada. Em qual percentual se deve reduzir o lado da base? EXERCÍCIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: POLIEDROS − NO VESTIBULAR

RESPOSTA: B 9 a) R$ 12,30. b) R$ 13,60. c) R$ 8,16. d) R$ 15,20. (UFPB) Foram feitas embalagens de presente em forma de prisma regular de altura H = cm e base triangular de lado L = 8 cm, conforme ilustra a figura ao lado. Sabendo-se que as embalagens não têm tampa e que o custo para a sua produção, por cm2, é de R$ 0,05, o custo total de fabricação de cada unidade é: (Dado: considere = 1,7) a) R$ 12,30. b) R$ 13,60. c) R$ 8,16. d) R$ 15,20. e) R$ 17,30. EXERCÍCIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: B POLIEDROS − NO VESTIBULAR

15 1 (UFRGS-RS) Na figura ao lado, os vértices do quadrilátero ABCD são pontos médios de quatro das seis arestas do tetraedro regular. Se a aresta desse tetraedro mede 10, então a área do quadrilátero ABCD é: a) 25. b) . c) 75. d) . e) 100. EXERCÍCIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: A POLIEDROS − NO VESTIBULAR

Determine o volume da pirâmide de base hexagonal IJKLMN e vértice H. 17 1 (UFU-MG) Na figura a seguir, temos um cubo ABCDEFGH de aresta a = 6 cm. Os pontos I, J, K, L, M e N são pontos médios das arestas a que pertencem. Determine o volume da pirâmide de base hexagonal IJKLMN e vértice H. EXERCÍCIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: POLIEDROS − NO VESTIBULAR