Introdução aos Sistemas Dinâmicos Ensino Superior Introdução aos Sistemas Dinâmicos 3.1 – Transformada Inversa de Laplace Amintas Paiva Afonso

Definição L L Transformada de Laplace: Transformada Inversa de Laplace: L p/ t > 0

Transformada Inversa de Laplace Normalmente, não se utiliza a integral de inversão de Laplace, mas simplesmente a consulta a tabelas existentes. - Devemos adequar a função F(s) para a consulta à tabela. Para tanto, utilizamos o Método de Expansão em Frações Parciais.

Transformada Inversa de Laplace Método de Expansão em Frações Parciais: Devemos escrever a função F(s) como uma função de dois polinômios em s: Devemos também fazer com que a maior potência de s em B(s) seja menor que a maior potência de s em A(s). Caso contrário, devemos dividir B(s) por A(s) até conseguir:

Transformada Inversa de Laplace Finalmente, reescrevemos a função F(s) como uma soma de termos menores: Cuja transformada inversa será: Temos duas situações para F(s). Ela pode ter pólos distintos ou pólos múltiplos de ordem n. Vamos ver como resolver F(s) em cada caso.

Transformada Inversa de Laplace Expansão em frações parciais quando F(s) envolve pólos distintos: Para m < n e k se refere ao ganho da função. Devemos reescrever F(s) como: Onde as constantes a1, a2, ..., an são chamadas de resíduos de cada pólo.

Transformada Inversa de Laplace Para determinar o valor de cada resíduo, fazemos: Exemplo: Determine a Transformada Inversa de Laplace da seguinte função de transferência:

Transformada Inversa de Laplace Resolução: Expansão em Frações Parciais: Determinação de a1 e a2:

Transformada Inversa de Laplace Portanto, a função expandida em frações parciais será: Consultando a tabela, f(t) será: para t >= 0

Transformada Inversa de Laplace Expansão em frações parciais quando F(s) inclui pólos múltiplos: Neste caso, vamos fazer a análise através de um exemplo: A expansão em frações parciais neste caso será feita assim:

Transformada Inversa de Laplace Para determinação de b1, b2 e b3, primeira-mente vamos multiplicar ambos os lados da equação por (s+1)3: (1) Se fizermos s=-1 na equação (1), teremos: (2) Agora, ao derivarmos ambos os lados da equação (1) em relação a s, obteremos: (3)

Transformada Inversa de Laplace Se fizermos s=-1 na equação (3), teremos: (4) Se derivarmos a equação (3) novamente em s, obteremos: (5)

Resolvendo as equações (2), (4) e (5):

Transformada Inversa de Laplace Com isso, F(s) fica: Consultando a tabela, teremos: