AULA 1 – CÁLCULO COM GEOMETRIA ANALÍTICA II Fonte: Anton, Stewart, Material Profa. Daniela Buske Prof. Guilherme J. Weymar CEng - UFPel

TÓPICOS: O Espaço tridimensional Representação de ponto Distância Esferas e Bolas Superfícies cilíndricas

O Espaço Tridimensional Coordenadas retangulares no espaço; esferas, superfícies cilíndricas. Sistema de coordenadas retangulares ou cartesianas: Eixo x: {(x,0,0) / x є R} Eixo y: {(0,y,0) / y є R} Eixo z: {(0,0,z) / z є R} Plano xy: {(x,y,0) / x, y є R} Plano yz: {(0,y,z) / y, z є R} Plano xz: {(x,0,z) / x, z є R}

1º octante: {(x,y,z) / x>0, y>0, z>0}

Representação de um ponto: Plano bidimensional Plano tridimensional Exemplo ...

Distância no espaço tridimensional: A distância |P1P2| entre os pontos P2 (x1,y1,z1) e P2(x2,y2,z2) é:

Vamos construir uma caixa retangular como na figura ao lado, onde P1 e P2 são vértices opostos e as faces dessa caixa são paralelas aos planos coordenados. Se A(x2,y1,z1) e B(x2,y2,z1) são os vértices da caixa indicados na figura então: Prova: Como os triângulos P1BP2 e P1AB são retangulares, duas aplicações do teorema de Pitágoras fornecem:

Combinando as duas equações anteriores obtemos: Lembrando: Continuação da Prova: Combinando as duas equações anteriores obtemos: cqd Exemplo ...

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Esferas e Bolas: Definição: Lugar geométrico: É um conjunto de pontos em satisfazendo alguma condição (com valor de verdade definido). Exemplos: 1) Parábola 2) Circunferência Lembrar: Equação do círculo com centro (xo,yo) e raio r é dada por:

3) Esfera: Em particular se o centro é a origem a equação da esfera é:

Definição: Bolas:

Teorema: Uma equação da forma representa uma esfera, um ponto ou não possui gráfico. Exemplos ...

Em geral completando os quadrados na equação do teorema anterior resulta uma equação da forma: Se K > 0 então o gráfico dessa equação é uma esfera com centro e raio . Se K = 0 então a esfera tem raio zero e portanto o gráfico é o único ponto . Se K < 0, a equação não é satisfeita por quaisquer valores de x, y, z e logo não há gráfico.

Superfícies Cilíndricas: Gráficos: de equações de 2 variáveis no espaço 2D OK de equações de 3 variáveis no espaço 3D OK de equações de 2 variáveis nos espaço 3D ??

Superfícies Cilíndricas: Teorema: Uma equação que contém apenas duas das variáveis x, y, z representa uma superfície cilíndrica em um sistema de coordenadas xyz. A superfície pode ser obtida fazendo-se o gráfico da equação no plano coordenado das duas variáveis que aparecem na equação e, então, transladando este gráfico paralelamente ao eixo da variável que não aparece na equação.

Exemplo: Como fazer este gráfico? Geometricamente, o ponto (x,y,z) situa-se na reta vertical que passa pelo ponto (x,y,0) no plano xy. Isto significa que podemos obter o gráfico de y=x^2 em um sistema de coordenadas xyz fazendo 1º o gráfico da equação no plano xy e então transladando este gráfico paralelamente ao eixo z para obter o gráfico inteiro. O processo de gerar uma superfície transladando uma curva plana paralelamente a alguma reta é chamado de extrusão, e as superfícies que são geradas por extrusão são chamadas superfícies cilíndricas.

1) Esboce o gráfico de x2 + z2 =1 no espaço tridimensional. Exemplos: 1) Esboce o gráfico de x2 + z2 =1 no espaço tridimensional. Uma vez que y não aparece nessa equação, o gráfico é uma superfície cilíndrica gerada por extrusão paralelamente ao eixo y. No plano xz, o gráfico da equação x2 + z2 =1 é um círculo. Assim, no espaço tridimensional o gráfico é um cilindro circular reto ao longo do eixo y. Espaço bidimensional Espaço tridimensional

2) Esboce o gráfico de z = seny no espaço tridimensional. Exemplos: 2) Esboce o gráfico de z = seny no espaço tridimensional. Espaço bidimensional Espaço tridimensional