Representação do E-T : diagramas de Minkowski eventos ( transitórios ) linhas de mundo ( duradoura no t ) cones de luz ( raios de luz) um observador recebe sinais de luz que vêm do passado e transmite sinais de luz para o futuro

cada observador tem o seu cone de luz Informações chegam ao observador com v  c eventos que foram observados estão dentro ou no cone de luz do passado eventos influenciados pelo observador deverão ficar dentro ou no cone de luz do futuro

Somente os eventos que estão dentro ou sobre o cones de luz de um dado observador fazem parte da linha de mundo deste observador x= - ct x= ct x t A B C cone de luz O AO = time-like OB = light-like OC = space-like presente passado futuro Tipos de intervalo de E-T: d2 > 0 : time-like → pode situar-se sobre a linha de mundo de um dado observador v < c d2 = 0 : light-like → pode situar-se na linha de mundo de um raio de luz → eventos de separação nula (geodésica nulas) v = c d2 < 0 : space-like → não pode situar-se sobre a linha de mundo de um dado observador v > c

dD = c dt Definição : DISTÂNCIA PRÓPRIA Distância medida entre 2 eventos : mede-se o tempo que um sinal de luz leva de A para B dD = c dt Como d = 0 para um sinal luminoso ds= c dt ds2=dx2+dy2+dz2 (distância própria= euclidiana)

>  d(E-T)2=c2dt2-ds2 Trajetórias no E-T tempo = espaço Distâncias entre dois pontos no E-T não são medidas como distâncias entre dois pontos no espaço ordinário d(E-T)2=c2dt2-ds2 Distância menor entre dois eventos NÃO é uma linha reta no E-T Para a luz: tempo = espaço  d=1000 anos-luz > t= 1000 anos (E-T)=0 luz invariante!!!

Seja uma linha de mundo reta que conecta dois eventos a e b Seja um caminho alternativo acb onde a partir de c formam-se os cones de luz que interceptam a e b Na folha de papel a distância acb > distância ab Mas... no E-T distância acb=0 !!! distância ab é o maior caminho Entre os dois eventos!!! Caminhos alternativos + próximos a acb são < caminho reto ab Paradoxo dos gêmeos Ler na apostilha demonstração usando métrica de Minkowski

PARADOXO DOS GÊMEOS O tempo próprio de um corpo mede-se ao longo da sua linha de mundo  idade = comprimento de linha de mundo adb leva tempo menor do que ab O tempo medido é  ao comprimento da linha de mundo medida no E-T

Diagrama de Minkowski para os 2 gêmeos Gêmeos A e B nasceram juntos  suas linhas de mundo começam no mesmo evento O gêmeo B viaja durante 6 anos (ida e volta) com v=0.8c (tempo marcado por B) O gêmeo A continua em repouso em relação à Terra Quantos anos se passaram para A ? Diagrama de Minkowski para os 2 gêmeos OP = linha de mundo de A OPQ= linha de mundo de B coordenadas dos eventos: O  (0,0) Q  (tQ,xQ) P  (tP,0) O P Q considerando: tQ=tP/2 xQ=vtQ=vtP/2 Separação entre os dois eventos O e Q:

Paradoxo: se o nosso sistema de coordenadas estivesse em B A seria o viajante  t seria menor para A ?? situação de A e B NÃO são simétricas Experimento: tempo de vida intrínseco medido ao longo da sua linha de mundo decaimento  (decai em 10-3 s) move-se relativisticamente em relação a nós tempo de vida maior! t decaimento  1/(1-V2/c2)1/2 (V=0.9998c) tdecaimento (observado) = 50 tdecaimento

Análise da gravitação... O princípio da Equivalência F gravitacional e F inercial produzem efeitos indistinguíveis 1o passo p/ TRG conexão entre movimento e gravidade geometria e gravidade tem algo em comum 2o passo p/ TRG

Um cenário mais simples... Seja um laboratório sem janelas no espaço 1a situação: lab está longe da estrela + próxima g ~ 0 move-se livremente: F inercial = 0 F=ma experimentos feitos dentro do lab Lab em estado inercial

Ftotal=Finercial-Fgravitacional=0 2a situação: lab passa perto da estrela + próxima experimentos feitos dentro do lab lab continua em estado inercial lab segue uma órbita em queda-livre Ftotal=Finercial-Fgravitacional=0 Conclusão: neste caso não dá para distinguir força inercial da gravitacional

TRE → as leis e suas equações físicas são as mesmas em todos os sistemas inerciais (não acelerados) Mas se os experimentos não conseguem distinguir entre Finercial e Fgravitacional pode-se usar a TRE em sistemas em queda-livre TRE → as leis e suas equações físicas são as mesmas em todos os sistemas inerciais + sistemas em queda-livre

“Newtonianamente” falando... Na queda-livre: massa inercial = massa gravitacional mi e mg : massas inercial e gravitacional do lab Princípio da equivalência newtoniano

“Einstenianamente” falando... Aceleração do lab em queda livre cancela completamente o efeito da gravidade NÃO SÓ DINAMICAMENTE!! Mecânica newtoniana MAS EM QUAISQUER EXPERIMENTOS FÍSICOS TRE usada em sistemas inerciais e em queda-livre

Geometria e gravidade Superfícies curvas são análogas à gravidade

Outros termos... Corpos com V constante  descrevem linhas retas no E-T plano de Minkowski da TRE Corpos em queda livre no mesmo E-T de Minkowski possuem linhas de mundo curvas Mas e a equivalência entre sistemas inerciais e em queda-livre??? Não teriam ambos linhas de mundo retas??? Abandono do E-T plano para encontrar uma teoria na qual gravidade altera a geometria do E-T tal que todos os corpos em queda-livre descrevam linhas de mundo retas Mundo Newtoniano de linhas de mundo curvas Linhas de mundo retas (geodésicas) num E-T curvo

Uma pequena complicadinha... Forças de maré Cenários descritos anteriormente para demonstrar o princípio da equivalência são idealizações... Somente pontos no espaço vão ser inerciais (movimento inercial raramente existe!!!) Princípio da equivalência só é verdadeiro num campo gravitacional UNIFORME Gravidade não é nunca uniforme

Seja um corpo sólido que se move sob a ação da gravidade Força de maré : resultante da força gravitacional não uniforme Centro de massa é o único realmente em queda-livre

Princípio da equivalência aplicável só a regiões de volume extremamente pequenos... Leis da física são expressas em termos de equações diferenciais Lab extremamente pequeno...

Forças de maré e variações na curvatura Retângulo = variação de K com a posição e com o tempo = simula lab em queda- livre com um campo gravitacional não uniforme e que varia com t Princípio da equivalência aplica-se somente a regiões infinitesimais Geometria euclidiana pode ser usada somente em regiões pequenas de uma superfície curva

TEORIA DA RELATIVIDADE GERAL Universo newtoniano : geometria euclidiana + forças gravitacionais substituído por: Universo relativístico do E-T de curvatura variável Órbitas curvas de corpos em queda-livre no universo newtoniano Órbitas retas no E-T curvo no universo de Einstein Órbita em linha reta = geodésica = distância + curta entre dois pontos Na TRG: corpos em queda-livre seguem caminho geodésicos

TRG curvatura do E-T é influenciada pela distribuição de matéria-energia E=mc2 Outra forma: a deformação do E-T está relacionada com a tensão induzida pela matéria-energia curvatura do E-T=constante  (matéria-energia) Gij=cteTij Ligação entre geometria e matéria-energia constante  G qdo K é negligível: equação TRG→equação TRE qdo v << c: equação TR→equação de movimento e gravidade de Newton

Usar curvatura ao invés de gravidade !!! Curvatura produz curvatura Cada curvatura tem influência ou é influenciada por outras curvaturas no espaço Universo Newtoniano: gravidade de um corpo não modifica a gravidade de um outro

“Gravidade” é transmitida a velocidade da luz Universo de Newton: gravidade é propagada instantaneamente... Campo gravitacional produzido por um corpo existe instantaneamente Universo de Einstein: gravidade ou K do E-T se propaga a velocidade da luz! Equação da TRG = equação de onda que gera e propaga as deformações curvas do E-T

2 estrelas orbitando ao redor delas mesmas produzem g que varia periodicamente com o tempo Então K do E-T varia periodicamente Energia é redistribuída na região Ondas de “deformação” do E-T fluem em todas as direções com velocidade = c

Energia e momentum angular são perdidos pelas s sob forma de ONDAS GRAVITACIONAIS A cada 109 ou 1012 anos Prova da existência de radiação gravitacional : sistemas binários com um pulsar