Capítulo 2

Flambagem Primária

Flambagem Primária

Flambagem Secundária

Flambagem Secundária

Equações Básicas – Teoria da Elasticidade

O Método do Equilíbrio Neutro

A Coluna Simplesmente Apoiada - Hipóteses

A Coluna Simplesmente Apoiada z, w P x P L P w My x

Coluna Simplesmente Apoiada - Solução w My x

O Comportamento da Coluna de Euler dmax Equilíbrio Estável Equilíbrio Instável Equilíbrio Neutro

Coluna Bi-Engastada P M0 w x L z , w -EIw”

Coluna Bi-Engastada - Solução P M0 w x -EIw”

Coluna Equivalente de Euler

Coluna em Balanço L P x z, w d 2L Coluna Equivalente de Euler Pd

Coluna em Balanço - Solução w P Pd EIw” x -EIw”

Coluna com Restrições Elásticas q M P M / L z, w kq L x M = kqq

Coluna com Restrições Elásticas - Solução P M / L w x -EIw”

Restrição Elástica – Casos Particulares

Coluna em Pórtico P L x z, w EI q M

Comprimento Efetivo

Comprimento Efetivo

Coeficientes de Fixação Restrições de Rotação nas Extremidades: Numa Extremidade Iguais, em Ambas as Extremidades

Coeficientes de Fixação Restrições de Rotação Distintas nas Extremidades

Métodos de Energia O Método da Conservação da Energia O Princípio do Valor Estacionário da Energia Potencial Total Cálculo de Variações O método de Rayleigh-Ritz O método de Galerkin

O Método da Conservação da Energia Trabalho das Forças Externas ds dw dx s L L’ D P z, w x, u

Trabalho das Forças Externas

Energia de Deformação

Energia de Deformação

O Método da Conservação de Energia Exemplo A comparação com o valor exato, p2EI/L2, indica um erro de aproximadamente 21%.

O Método da Conservação de Energia A comparação com o valor exato, p2EI/L2, indica um erro de aproximadamente 1,3%.

O Método de Conservação de Energia Erro de 0,13% Erro de 0,014%

O Princípio do Valor Estacionário do Potencial Total Trabalho das Forças Externas u du We DWe P Se o corpo é elástico linear, o trabalho é dado pela expressão We = ½ P u.

O Princípio do Valor Estacionário do Potencial Total de F DF s Energia de Deformação

O Princípio do Valor Estacionário do Potencial Total Energia de Deformação

Energia de Deformação - Particularização Unidimensional

Energia de Deformação - Particularização Estado Plano de Tensões

O Princípio do Valor Estacionário do Potencial Total O Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV) reza: “um corpo elástico de dimensões finitas está em equilíbrio se e somente se o trabalho virtual feito pelas forças externas for igual à energia de deformação virtual para qualquer deslocamento virtual arbitrário” e pode ser expresso na forma Princípio do Valor Estacionário do Potencial Total: “Uma estrutura elástica está em equilíbrio se e somente se a energia potencial total assumir um valor estacionário neste ponto, ou seja, se não ocorrer mudança na energia potencial total do sistema quando os seus deslocamentos são perturbados por pequenos valores arbitrários”. Forças conservativas

O Princípio do Valor Estacionário do Potencial Total Resumo – Exemplo Seja, . A condição de equilíbrio é dada por . A natureza da equação do equilíbrio é dada por   M k v Pp veq Mínimo g

Deseja-se achar o extremo de Cálculo de Variações Deseja-se achar o extremo de

Cálculo de Variações

Possíveis condições de contorno Cálculo de Variações Equação de Euler Possíveis condições de contorno

Cálculo de Variações - Exemplo kq k P x EI(x) L z, w Coluna com suportes elásticos – Formulação do Problema kz(x)

Coluna com Suportes Elásticos - Formulação

Problema de Auto-Valor de 4a. Ordem - Solução

Problema de Auto-Valor: Caso Especial Coluna simplesmente apoiada x w P Sistema de Coordenadas para Coluna em Balanço

Potencial de Cargas Concentradas e Distribuídas p x(x) Pk h dh x xk Ponto de deslocamento horizontal nulo

O Método de Rayleigh-Ritz wj(x) são funções assumidas que neces-sariamente têm de satisfazer as condições de contorno geométricas do problema.

O Método de Rayleigh-Ritz

O Método de Rayleigh-Ritz: Caso Especial Considere, agora, o caso sem os apoios e fundação elástica (basta zerar os termos correspondentes na expressão dos a ij). Se a coluna tem ambas as extremidades articuladas ou, uma extremidade livre e a outra engastada, os podem ser expressos em termos de em vez de .

Método de Rayleigh-Ritz: Exemplo Coluna de Seção Variável Erro de 0,97%

Método de Rayleigh-Ritz - Exemplo Viga de Seção Variável - Solução com dois Termos Isto dá , exata em até três dígitos significativos

Método de Galerkin

Método de Galerkin Se os wj(x) satisfizerem todas as condições de contorno, os dois primeiros termos da equação acima se anulam identicamente e Erro na satisfação da equação de Euler é feito ortogonal às funções de base wj(x) no domínio

Coluna Sujeita a Grandes Deflexões q dw ds dx

Coluna Sujeita a Grandes Deflexões -Galerkin

Coluna Sujeita a Grandes Deflexões -Galerkin

Coluna Sujeita a Grandes Deflexões -Galerkin

Coluna Carregada Excentricamente

Coluna Carregada Excentricamente Curva Carga-Deflexão para Coluna Carregada Excentricamente

Coluna com Forma Imperfeita

Coluna com Forma Imperfeita

Coluna com Forma Imperfeita P/PE A1 A2 A3 0,0 0,4 0,8 0,9 0,95 1,0 0,667 4,00 9,50 20,0 0,111 0,25 0,29 0,33 0,047 0,08 0,11 0,12 0,13

Curva Carga-Deslocamento (Teoria Linear)

Forma Imperfeita – Teoria Não-Linear

Colunas Imperfeitas - Observações 1)       A posição reta é a única configuração de equilíbrio possível para colunas com imperfeições tendendo a zero, até que P = PE ; 2)       Em P = PE as deflexões, para a coluna com imperfeições tendendo a zero, crescem rapidamente até que as fibras do lado côncavo excedem o limite de proporcionalidade; 3)       Colunas com imperfeições usuais (relativamente pequenas) não fletem apreciavel-mente até que P se aproxime de PE. As deflexões crescem rapidamente à medida que P se aproxima de PE , seguindo de perto a curva para colunas com imperfeições tendendo a zero; 4)       As deformações que crescem rapidamente logo atingem a tensão de escoamento e a coluna prática (pequenas imperfeições) entra em colapso quando P  PE ; 5)       As deflexões no colapso são pequenas o suficiente para permitir o uso da teoria linear, na qual a curvatura é aproximada por d2w/dx2 ; 6)     Colunas de manufatura pobre, com imperfeições sensíveis, entram em colapso sob cargas sensivelmente menores do que a de Euler.

Colunas Imperfeitas - Conclusões A coincidência física de que a capacidade última de absorção de carga de uma coluna com pequenas imperfeições, como aquelas manufaturadas para uso aeronáutico, pode ser prevista pela teoria linear para a coluna perfeita é afortunada. Significa que colunas que falham numa tensão média no regime elástico podem ser projetadas através da fórmula simples de Euler, não sendo necessária uma análise não-linear relativamente complicada. Um critério alternativo de estabilidade que pode ser enunciado como “a carga crítica é aquela sob a qual as deformações de um sistema levemente imperfeito tendem a infinito”. Desta forma, a carga crítica pode ser obtida através da análise linear de um sistema com qualquer tipo de imperfeição (deformação inicial, cargas excêntricas ou cargas laterais). Em placas e cascas a carga de colapso pode ser sensivelmente diferente daquela prevista pela análise da condição de equilíbrio neutro sob pequenas deformações.

Flambagem Inelástica de Colunas

Flambagem Inelástica de Colunas as fibras do lado côncavo comprimem, portanto segundo o módulo tangente Et , e as fibras do lado convexo estendem, portanto segundo o módulo de elasticidade E . Uma situação de carga constante durante a flambagem (como aquela da teoria linearizada de Euler para flambagem elástica) exige que haja reversão de tensões no lado convexo. todas as fibras continuam comprimindo ao se dar a flexão, de modo que o módulo efetivo para a seção é o módulo tangente Et. Isto só é possível, se a carga continua aumentando durante a flambagem; ?

Flambagem Inelástica de Colunas - Histórico 1759 - Teoria de Euler Início S IXX Ensaios mostram que teoria de Euler é não conservativa para colunas curtas 1845- Lamarle mostra que teoria de Euler vale no regime elástico 1889- Considère e Engesser, independentemente, mostram que teoria de Euler vale para colunas esbeltas; vale também para colunas curtas se E é substituído por um módulo efetivo Engesser – módulo tangente Considère – módulo duplo (ou reduzido) 1910 Von Karman re-deriva a teoria do módulo duplo e ensaios a substanciam – a teoria do módulo duplo passa a ser aceita universalmente (30 anos)

Flambagem Inelástica de Colunas - Histórico Anos 1940 Extenso programa de ensaios em colunas em liga de alumínio pela indústria aeronáutica mostra a carga mais próxima àquela dada pelo módulo tangente do que Von Karman Críticos culpam as imperfeições iniciais e pobre controle sobre as condições de contorno pelas cargas menores obtidas nestes ensaios Indústria passa a utilizar a teoria do módulo tangente porque as condições dos testes eram típicas de condições operacionais 1947 Shanley resolve a questão

Modelo de Shanley s e rígida

Flambagem Inelástica - Conclusões A carga do módulo reduzido satisfaz o critério clássico de estabilidade – coluna reta e fletida coexistindo sem aumento de carga; A carga do módulo reduzido corresponde a um ponto de equilíbrio instável e realizável em laboratório somente em condições especiais; o seu cálculo é complicado Carga máxima está entre os valores fornecidos pelas teorias dos módulos tangente e duplo Carga máxima está mais perto do valor dado pela teoria do módulo tangente Engenheiro está interessado na carga última sob imper- feições e não no ponto de bifurcação A carga do módulo tangente é conservativa para colunas retas ou com pequenas imperfeições; cálculo simples USAR A TEORIA DO MÓDULO TANGENTE

Teoria do Módulo Tangente O devido cuidado deve ser tomado nos casos em que o comprimento efetivo depender do módulo: Et deve ser utilizado ao invés de E.

Módulo Tangente: Uso de Ramberg-Osgood

Uso do Modelo de Ramberg-Osgood Função de

Flambagem Inelástica – Formulas Empíricas Fórmula da Reta Parábola de Johnson

Exemplo 1

Exemplo 1 Cálculo de Ix: Considere inicialmente considerada um retângulo de dimensão 2,5” x 2,75” e subtraia as contribuições das porções (1) e (2): (no cálculo acima foram desprezados os momentos de inércia dos triângulos em torno de seus eixos centroidais)

Exemplo 1 Cálculo de Iy: Para falha em torno do eixo Portanto, a falha é crítica para flexão em torno do eixo y, com L’/r = 41.

Exemplo 1 Caso 1: Fc=50,5 ksi, donde P = 220 kips Caso 2: sujeitando este membro a uma temperatura de 600o F durante ½ hora reduz a sua resistência de 220 kips à 26,7 kips, o que significa que a liga de alumínio é um material muito pobre para suportar cargas sob tais temperaturas, uma vez que a redução em resistência é muito grande.

Exemplo 2: Uso do Modelo de Ramberg-Osgood Caso 1: temp. amb.: Ec = 10500 ksi, F0.7 = 59,5 ksi, n = 26, Fcy = 59 ksi A Fig. 2-41: Fc/F0.7 vs. B para n = 26: O resultado é praticamente o mesmo obtido no exemplo anterior! Caso2: ½ h. a 300oF: Ec = 9400 ksi, F0.7 = 46,5 ksi, n = 29, Fcy = 47 ksi A solução numérica fornece Fc/F0.7 = 0,880. A solução via Fig. 2.41 é Calculadora ou processo iterativo, resulta em Fc/F0.7 = 0.854, ou Fc = 50.8 ksi.

Exemplo 3   A figura mostra uma coluna de seção variável, simplesmente apoiada. O membro é usinado de uma barra extrudada de 1 in de diâmetro, feita em liga Al 7075-T6. O problema consiste em achar a carga admissível para o membro. As propriedades da seção podem ser calculadas através das expressões Desta forma, tem-se E1 = E2 = 10500 ksi Porção 1: Porção 2:

Exemplo 3

Acima do Limite de Proporcionalidade Exemplo 4 A figura mostra a coluna do exemplo anterior com as dimensões longitudinais encurtadas para 1/5 dos comprimentos originais. Não há alterações no que tange o material e seções transversais.   Propriedades da extrusão Al 7075-T6: Ec = 10500 ksi, F0.7 = 72 ksi, n = 16,6, Fcy = 70 ksi Com L’/r = 12 / 0,219  55, obtém-se Fc = 33,5 ksi. Portanto, P = Fc A = 33,5 x 0,7854 = 26,3 kips ; f1 = 33,5 ksi e f2 = 26.3 / 0.4418 = 59,5 ksi Acima do Limite de Proporcionalidade Método Iterativo

Exemplo 4 Porção 1: f1 / F0.7 = 33,5 / 72 = 0,465  Et1 = E = 10.500 ksi Porção 2: f2 / F0.7 = 59,5 / 72 = 0,826  Et2 = 0,735 E = 7.700 ksi P=26,3 Pcr = 5,8 x 10500 x 0,0491 / 122 = 20,8 kips. 2a. Iteração P=23,6 f1 = 23,6 / 0,7854 = 30,05 ksi e f2 = 23,6 / 0,4418 = 53,42 ksi Porção 1: f1 / F0.7 = 30.05 / 72 = 0,417  Et1 = E = 10.500 ksi Porção 2: f2 / F0.7 = 53,42 / 72 = 0,742  Et2 = 0,735 E = 9.840 ksi Pcr = 6,7 x 10500 x 0,0491 / 122 = 24 kips.