Método dos Mínimos Quadrados Segunda Lei de Newton Movimento circular

Método dos Mínimos Quadrados Consideremos o conjunto de resultados na tabela: 𝒙 𝒊 ±∆ 𝒙 𝒊 𝒚 𝒊𝟏 𝒚 𝒊𝟐 𝒚 𝒊𝟑 𝒚 𝒊 𝚫 𝒚 𝒊 = 𝝈 𝒊 vx1x vy1 vy2 vy3 Média Erro padrão=incerteza Consideremos também que existe uma lei física, verdadeira, tal que: 𝑓 𝑥 𝑖 , 𝑎 1 , 𝑎 2 , 𝑎 3 , … = 𝑦 𝑖 Como descobrimos, a partir de um conjunto de dados: os parâmetros 𝑎 𝑖 ? a propagação da incerteza na determinação desses parâmetros?

A probabilidade de obtermos um resultado 𝑦 𝑖 esta dentro de uma distribuição gaussiana associada à função f dada por: onde Essa probabilidade é máxima quando a função dentro da exponencial é mínima, o que é verdade se

E se temos uma função linear??? No lugar de ficar pensando nos inúmeros tipos de funções existentes pensamos no caso mais simples: a equação da linha reta! Neste caso 𝑓 𝑥 𝑖 , 𝑎 1 , 𝑎 2 , 𝑎 3 , … =𝑓 𝑥 𝑖 ,𝑎,𝑏 =𝑎 𝑥 𝑖 +𝑏 Resolver o problema descrito na transparência anterior considerando a função acima é fazer uma regressão linear, lembrando que Derivando a função com relação aos dois parâmetros, coeficientes linear e angular da equação da reta obtemos:

Resolvendo o sistema de equações acopladas (faça em casa!) obtem-se onde e as incertezas do valor dos coeficientes são:

Erro padrão=incerteza Voltando à tabela... Tabela de dados: 𝒙 𝒊 ±∆ 𝒙 𝒊 𝒚 𝒊𝟏 𝒚 𝒊𝟐 𝒚 𝒊𝟑 𝒚 𝒊 𝚫 𝒚 𝒊 = 𝝈 𝒊 vx1x vy1 vy2 vy3 Média Erro padrão=incerteza Se os dados seguem uma relação linear, devemos construir uma tabela para desenvolver o método dos mínimos quadrados. No caso geral: 𝒙 𝒊 𝒚 𝒊 𝝈 𝒊 𝒘 𝒊 =𝟏/ 𝝈 𝟏 𝟐 𝒘 𝒊 𝒙 𝒊 𝒚 𝒊 𝒘 𝒊 𝒙 𝒊 𝒙 𝒊 𝒘 𝒊 𝒙 𝒊 𝒘 𝒊 𝒚 𝒊 .. Somas 𝚺𝒘 𝒊 𝚺𝒘 𝒊 𝒙 𝒊 𝒚 𝒊 𝚺𝒘 𝒊 𝒙 𝒊 𝟐 𝚺𝒘 𝒊 𝒙 𝒊 𝚺𝒘 𝒊 𝒚 𝒊 Não esquecer!!!

Segunda lei de Newton 𝑚 1 𝑚 2 FIXA Equação da aceleração Objetivos: Comprovar experimentalmente a segunda lei de newton No tempo t, a≠0 x=0 m d FIXA Movimento (quase) sem atrito. 𝑚 1 t=0 s, v=0 m/s 𝑚 2 FIXA Equação da aceleração 𝑎= 𝑚 2 𝑔 𝑀 onde e também 𝑎= 2𝑑 𝑡 2 . 𝑀= 𝑚 1 + 𝑚 2 Ao variar a massa do planador, 𝑚 1 , a aceleração muda, pois variamos a massa total 𝑀. A aceleração é inversamente proporcional à massa total. Analisando a equação e conhecendo 𝑚 2 , podemos encontrar 𝑔.

Movimento circular 𝜃 𝑡 = 1 2 𝛼 𝑡 2 Objetivos: Medir a aceleração angular de um objeto que rota sob a ação de um torque. 𝜃 𝑡 = 1 2 𝛼 𝑡 2 A aceleração angular é constante Medindo o tempo que o aro gira uma ( 𝜃 1 =2𝜋 radianos), duas ( 𝜃 2 =4𝜋 radianos), etc. podemos determinar o valor da aceleração angular.