Grafos eulerianos 1

Linha de Euler Em que tipo de grafo é possível achar um ciclo que passe por cada aresta exatamente uma vez? Esse ciclo linha de Euler O grafo que consiste nesta linha: grafo euleriano Um grafo euleriano é sempre conexo, a menos de vértices isolados. 2

Teorema Um grafo conexo G é um grafo euleriano sss todos os vértices de G são de grau par 3

Teorema Um grafo conexo G é um grafo euleriano sss ele pode ser decomposto em ciclos 4

Seja (G) o número de componentes conexas de G. Pontes Seja (G) o número de componentes conexas de G. Uma ponte é uma aresta a tal que (G - a) > (G) 5

Ciclos Eulerianos CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos entrada: grafo euleriano G = (V,E)‏ 1. EC ← [w]; 2. CV ← w; 3. E´ ← ; 4. enquanto |(w)| > 0 faça 5. se |  (CV)| > 1 então 6. encontrar v   (CV), {CV,v} não é ponte de G-E´ 7. senão 8. v = o vértice em  (CV) 9. fim-se 10. retirar v de  (CV) e CV de  (v) 11. E´ ← E´ U {{CV,v}} 12. CV ← v; 13. adicionar CV no final de EC 14. fim-enquanto saída: EC CV: vértice que está sendo visitado E´: conjunto de arestas já traçadas EC: lista de vértices ordenada pela seqüência de visitas (v):conjunto de vizinhos de v em G-E´ CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos

Exemplo Exercício: Executar o algoritmo para o grafo descrevendo os principais passos e a idéia do seu funcionamento. g g b b a a c c e e e f f d d CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos

Grafos Hamiltonianos CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos

Ciclo Hamiltoniano Um caminho que contém todos os vértices de G é dito um caminho hamiltoniano CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos

Caminho e Ciclo Hamiltoniano Um caminho que contém todos os vértices de G é dito um caminho hamiltoniano Um ciclo hamiltoniano é um ciclo que contém todos os vértices de G Nem todo grafo conexo possui um ciclo hamiltoniano CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos

Questão Existe uma condição necessária e suficiente para um grafo conexo possuir um ciclo hamiltoniano? CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos

Se G é hamiltoniano então, para todo subconjunto não-vazio e próprio Teorema Se G é hamiltoniano então, para todo subconjunto não-vazio e próprio S de V, (G-S)  |S| CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos

Exemplo n = 9 S = {s1, s2, s3} s1 s1 s2 s1 s1 s1 s3 CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos

Grafo de Petersen CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos

Se G é um grafo simples com n  3 e   n/2, então G é hamiltoniano Teorema Se G é um grafo simples com n  3 e   n/2, então G é hamiltoniano a d c b CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos

Prova Seja G um grafo simples e maximal, com n  3 e   n/2 e não hamiltoniano. Ou seja, não existe nenhum outro grafo com mais arestas do que ele que não seja hamiltoniano Sejam u e v vértices não adjacentes em G Como G é maximal, G + {u,v} é hamiltoniano A aresta {u,v} pode ser adicionada a G pois sabemos que G não é completo, pois por suposição, n  3 e G é não hamiltoniano (todo grafo completo possui um ciclo hamiltoniano)‏ Como G é não hamiltoniano, todo ciclo hamiltoniano de G+{u,v} contém a aresta {u,v} CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos

Prova Logo existe o caminho hamiltoniano em G descrito por u = v1v2v3...vn-1vn= v O grafo G pode conter mais arestas do que aquelas pertencentes ao caminho (pois   n/2) Sejam S = {vi | uvi+1  E} e T = {vi | viv  E} vn  S e vn  T  vn  S  T  |S  T| < n (I)‏ Além disso, |S  T| = 0 (senão haveria um ciclo hamiltoniano em G) (II)‏ De (I) e (II): d(u) + d(v) = |S|+|T| = |S  T| + |S  T| < n+0 = n Daí, existe algum vértice em G cujo grau é menor que n/2 (contradição)‏ Logo G é hamiltoniano CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos

Em um grafo completo esse número Teorema Número de ciclos hamiltonianos com arestas disjuntas em um grafo: em aberto! Em um grafo completo esse número pode ser determinado Em um grafo completo com n vértices, existem (n-1)/2 ciclos hamiltonianos com arestas disjuntas, se n é ímpar e n  3. CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos

Exercício Exiba um grafo euleriano e hamiltoniano Exiba um grafo euleriano e não hamiltoniano Exiba um grafo não euleriano e hamiltoniano Exiba um grafo não euleriano e não hamiltoniano CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos

Exercícios 1. Mostre que |E(Kp,q)| = p*q 2. Seja G = (V,E) um grafo com |V| = n e |E| = m. Mostre que se G é um grafo bipartido então m  n2/4. 3. Sejam a, b e c três vértices distintos em um grafo. Existe um caminho entre a e b e também existe um caminho entre b e c. Prove que existe um caminho entre a e c. CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos