Campo Conceitual e os PCN de Matemática “A justificativa para o trabalho conjunto dos problemas de adição e subtração baseia-se no fato de que eles compõem uma mesma família” “Os problemas não se classificam em função unicamente das operações a eles relacionadas a priori, e sim em função dos procedimentos utilizados por quem os seleciona” A dificuldade de um problema não está diretamente relacionada à operação requisitada para sua solução, mas depende em grande parte a questões lógicas de cada tipo de problema (PCN, 2001)

Campo Conceitual Situ ação Situação Situação Situação Situação

Conceitos de naturezas diferentes Campo Conceitual Conceitos de naturezas diferentes Conceito Conceito Conceito Conceito

Campos Conceituais Conjunto de situações cuja apropriação requer o domínio de vários conceitos de naturezas diferentes.

PARADOXO É necessário o domínio de CONCEITOS para enfrentar determinadas situações; É necessário um conjunto de SITUAÇÕES distintas para se formar um conceito.

DIALÉTICA CONCEITO SITUAÇÃO

Desafio para o(a) professor(a) que ensina matemática Elaborar situações-problema fazendo escolhas adequadas tanto de situações didáticas, quanto de debates, explicações, representações que auxiliem os alunos a construírem novos conceitos.

Segundo a teoria dos Campos Conceituas, para se formar um CONCEITO são necessário situações trabalhada pela criança a partir de invariantes expressos por representações. Situação: aquilo com o qual o aluno é confrontado e que torna o conceito significativo; Invariante: refere-se a ação do sujeito. São teoremas em ato e conceitos em ato utilizados pelo indivíduo para analisar e dominar a situação. Representações: representações simbólicas que podem ser usadas para representar invariantes e, portanto, representar as situações e os procedimentos para lidar com elas.

n(AUB) = n(A) +n(B), desde que A  B = ø Exemplo: Situação: Uma criança tinha 3 bombons e sua avó lhe deu 2. Com quantos bombons ela ficou? Resolução: é utilizado um teorema em ação – representa-se os bombons pelos dedos e conta-se os dedos. Invariante: através da estratégia acima, a criança mostra que compreende de modo implícito que o todo é igual a soma das partes, não sendo capaz de verbalizar este conhecimento. Representação: a utilização dos dedos Teorema utilizado: n(AUB) = n(A) +n(B), desde que A  B = ø

Teorema-em-ação um tipo de invariante operacional Um teorema matemático é utilizado pela criança: De modo implícito; Sem ser capaz de verbalizá-lo, explicá-lo verbalmente; Mostrando-se na ação; Servindo para situação pontual. Esta forma de conhecimento é chamada de “TEOREMA EM AÇÃO”: são conhecimentos matemáticos que a criança desenvolve em sua vida diária. É a base sobre a qual o ensino da matemática deve ser construído.

Competência e Concepção As competências e concepções dos alunos vão se desenvolvendo ao longo do tempo, por meio de experiências com um grande número de situações, tanto dentro quanto fora da escola. Em geral, quando se defronta com uma nova situação, o estudante usa o conhecimento desenvolvido em sua experiência de situações anteriores e tenta adaptá-las à nova situação.

Competência e Concepção DUAS FACES DA MESMA MOEDA Problemas teóricos e práticos levam a levam a formação de conceitos, enquanto conceitos explícitos e conhecimentos implícitos levam a formação de competência. Competência é traçada pela ação do aluno diante das situações (no caso, resolução de problemas) Concepções pdm ser traçadas por suas expressões verbais e outras representações simbólicas.

Teorema-em-ação Domínio de validade restrito Validade local Teorema-em-ação: “8 x 2 =16; 8 x 4 = 32, logo toda vez que multiplicarmos 8 por qualquer número o resultado sempre será maior do que 8” Confronto: 8 vezes quanto dá 2? ?

Esquemas de ação e a formação de conceitos operatórios do Campo Aditivo (adição e subtração) Ao ingressar na primeira série a maioria dos alunos já tem a capacidade de coordenar ESQUEMAS (invariantes operatórios) de juntar e separar com a contagem e por isso conseguem resolver uma diversidade de problemas.

Paula tinha 5 flores. Depois sua mãe lhe deu 8 flores Paula tinha 5 flores. Depois sua mãe lhe deu 8 flores. Quantas flores Paula tem agora? Otávio tinha 12 flores. Deu 2 dessas flores para sua mãe. Quantas flores Otávio tem agora? Num tanque havia 6 peixes vermelhos e 4 amarelos. Quantos peixes havia no tanque? Carla tinha alguns doces. Ela jogou um jogo e ganhou 2 doces. Agora ela tem 12 doces. Quantos doces ela tinha? Numa sala há 9 alunos e 6 cadeiras. A) Há mais cadeiras ou alunos? B) Quanto alunos a mais? Numa sala há 9 alunos e 6 cadeiras. Quantas cadeiras temos que buscar para que todos os alunos possam sentar-se?

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O gráfico mostra que: Nos probl. 1, 2 e 3 os alunos precisaram coordenar as ações de juntar (pb1 e pb3) ou de retirar (pb2) com a contagem. Conclusão: foram capazes de coordenar ações com a contagem (representação simbólica)

O gráfico mostra que: B) O percentual de acerto no probl. 4 foi de 60%. Perc. abaixo dos anteriores. Conclusões: B.1) A aplicação direta do esquema de ação (juntar ou retirar) não leva à resolução do problema Segundo Piaget, as crianças desenvolvem os esquemas de juntar e separar independente um do outro, sem compreender a relação entre eles. Para atingir uma compreensão mais avançada, passando do conhecimento baseado em ESQUEMAS DE AÇÃO para CONCEITOS OPERATÓRIOS de adição e subtração, é necessário que o aluno consiga coordenar os dois esquemas, reconhecendo a relação inversa que existe entre adição e subtração.

Conclusões: B.2) Não são as “continhas” que tornam o problema mas fácil ou mais difíl. A operação a ser utilizada tanto no prob. 2 quanto no prob. 4 era 12 – 2, entretanto o índice de acertos foi bem diferente.

O gráfico mostra que: C) Os alunos tiveram bem mais dificuldade para resolver problema que evolveu COMPARAÇÃO. Desempenho foi no prob. 5b foi de 50%. Conclusões: C.1) Os alunos compreenderam o sentido comparativo da palavra “mais”, pois 99% deles acertaram o item A do prob 5. C2) A dificuldade é explicada com o fato dos alunos identificarem as ideias de adição e subtração com mudanças nas quantidades. Como nos problemas comparativos não há mudanças de quantidades, os alunos não conseguem raciocinar de imediato sobre as relações quantitativas envolvidas no problema.

O gráfico mostra que: D) Quando transformamos o prob O gráfico mostra que: D) Quando transformamos o prob. 5 – comparação estática – num problema dinâmico (prob. 6), o índice de acerto subiu para 90%. Conclusões: D1) O alto índice de acerto confirma a constatação anterior de que os alunos sentem mais dificuldades em racionar com duas quantidades estáticas. A utilização do prob. 6 pode ser um caminho intermediário para que a criança possa compreender problemas comparativos. D2) Poder-se-ia perguntar: quantos alunos vão ficar sem cadeira? Nestes casos o índice de acerto é sup. A 90%. Quando os alunos utilizam “tracinhos” e fazem correspondência um-a-um, normalmente acertam.

Conceito operatório da adição e subtração Há três esquemas de ação relacionados ao raciocínio de aditivo: JUNTAR RETIRAR COLOCAR EM CORRESPONDÊNCIA UM-A-UM As crianças já utilizam estes esquema antes mesmo de ingressarem na escola, MAS...

A maioria das crianças da 1ª série ainda não desenvolveu meios de estabelecer relações entre esses três esquemas de ação e, portanto, não construiu um conceito operatório de adição e subtração.

Mudança dos objetivos no ensino da Matemática no 1º ciclo De acordo com as pesquisas na área de aprendizagem de Matemática no Campo Aditivo, faz-se necessário mudar o foco: Ensinar Adição e Subtração Promover a coordenação dos 3 esquemas de ação ligados a esses conceitos

Objetivos da Matemática no curso primário - MEC/1954 Dotar as crianças de conhecimentos e habilidades que lhes possibilitem aplicar com rapidez, exatidão e segurança, a aritmética e a geometria; Formar hábitos que conduzam à maior eficiência no emprego das técnicas matemáticas...

Objetivos da Matemática para o EF expressos nos PCN/MEC 1997 Resolver situações-problema, sabendo validar estratégias e resultados, desenvolvendo formas de raciocínios e processos... e utilizando conceitos e procedimentos matemáticos.

Nosso desafio Propor situações adequadas que promovam a transformação dos esquemas de ação em conceitos operatórios.

Próximo Encontro Um estudo do Campo Aditivo As três categorias de problemas e Os cinco níveis de dificuldade Não percam!