Grafos Orientados (digrafos) Teoria dos Grafos

Grafo Orientado ou digrafo Consiste em um grafo G = (V,A) onde V = {v1, …, vn} é um conjunto de vértices e A = {a1, …, ak} é um conjunto de arcos tais que ak, k=1,…,m é representado por um par ordenado (vi,vj) de vértices, i,j = 1,…,n. c e f d Teoria dos Grafos

Lista de adjacência 1 2 3 4 5 3 • 2 1   4 1 2 3 4 5 Teoria dos Grafos

Matriz de Adjacência Seja G = (V,A) A = (aij), 1 ≤ i,j ≤ n aij = 1, quando (i,j)  A 0, caso contrário Teoria dos Grafos

Matriz de Adjacência a b c d e a 1 a b b c c d d e e Teoria dos Grafos

Matriz de Adjacência Diagonal principal nula: grafos sem laços Matriz não necessariamente simétrica. Valores nulos: ausência de arestas Valores não nulos: presença de arcos grafos sem laços Teoria dos Grafos

Matriz de Incidência Seja G = (V,E) B = (bkl), 1 ≤ k ≤ n, 1 ≤ l ≤ m bkl = 1, quando o vértice k é extremidade inicial do arco l -1, quando o vértice k é extremidade final 0, caso contrário Teoria dos Grafos

Matriz de Incidência +1 -1 (a,b) (a,c) (a,e) (c,b) (c,d) (d,b) (e,c) a -1 a a b c b d c e d e Teoria dos Grafos

Relações de adjacência Em um digrafo G = (X, U), diz-se que y  X é sucessor de x  X quando existe (x,y)  U. Diz-se também que x é antecessor de y. + (x): conjunto de sucessores de x - (x): conjunto de antecessores de x Teoria dos Grafos

Vizinhança Vizinho ou vértice adjacente de um vértice x, em um grafo orientado ou não, é todo vértice y que participa de uma ligação (arco ou aresta) com x. + (x) x x  - (x) Teoria dos Grafos

Vizinhança Seja A  X. Então + (A) = U + (x) - A , x  A A Idem para b c d Idem para - (A)! e Teoria dos Grafos

Fechos Transitivos Conjuntos que representam ligações diretas ou indiretas entre vértices em grafos orientados. Diz-se que um vértice y é atingível a partir de x em um grafo G quando existe em G uma seqüência de sucessores que começa em x e termina em y. Teoria dos Grafos

Fecho Transitivo Direto ^ + (x): conjunto de vértices de G atingíveis a partir de x + (x) = {x}  [k=1,...,n +k (x)] ^ Teoria dos Grafos

Fecho Transitivo inverso ^ - (x): conjunto de vértices de G a partir dos quais x é atingível Teoria dos Grafos

Incidência Um arco incide exteriormente em x  X se x for extremidade inicial e interiormente se x for extremidade final do arco. O arco (i,j) é incidente em A  X de um grafo G, se ele tem uma e só uma extremidade em um vértice pertencente a A. (i,j) é incidente a A: interiormente (i  A, j  A) exteriormente (i  A, j  A) Teoria dos Grafos

Grau de um vértice Semigrau exterior (d+(x)): número de arcos incidentes exteriormente a x Semigrau interior (d-(x)): número de arcos incidentes interiormente a x d(x) = d+(x) + d-(x) Vértice nulo: d+(x) = d-(x) = 0 Teoria dos Grafos

Isomorfismo Seja G um digrafo e G´ o grafo correspondente sem orientações. Seja G´ um grafo não orientado. Então G, obtido a partir de G´ definindo-se uma orientação arbitrária de suas arestas é dito digrafo associado a G. Teoria dos Grafos

Isomorfismo Se G é um digrafo e G´ é um grafo não orientado obtido a partir de G: único. Se G é um grafo não orientado e G´ é orientado, obtido a partir de G: várias possibilidades. Teoria dos Grafos

Isomorfismo Quando dois digrafos G1 e G2 são isomorfos? Os grafos não orientados G1´ e G2´ correspondentes a G1 e G2 devem ser isomorfos. As orientações entre as arestas correspondentes devem ser as mesmas. Teoria dos Grafos

Alguns tipos de digrafos Simples: sem laços ou arcos paralelos Assimétrico: possui no máximo um arco entre cada par de vértices Simétrico: para cada par de vértices existe um arco em cada direção Completo simétrico (n(n-1) arcos) Completo assimétrico (n(n-1)/2 arcos) Teoria dos Grafos

Percursos Percurso direcionado de um vértice i para um vértice j: é uma seqüência alternada de vértices e arestas sucessivamente adjacentes, com todos os arcos na mesma direção. Percurso simples direcionado de um vértice i para um vértice j: é uma seqüência alternada de vértices e arestas sucessivamente adjacentes, com todos os arcos na mesma direção. Nenhuma aresta aparece mais de uma vez, mas um vértice pode ser repetido. Caminho direcionado: percurso simples direcionado sem repetição de vértices Circuito: ciclo orientado com todos os arcos na mesma direção. Teoria dos Grafos

Conexidade Grafo simplesmente conexo ou s-conexo: todo par de vértices é unido por ao menos um caminho no grafo correspondente não direcionado a b c d Teoria dos Grafos

Conexidade Grafo semi-fortemente conexo ou sf-conexo: em todo par de vértices do grafo, um deles é atingível a partir do outro (ou seja, entre eles existe um caminho em ao menos um dos dois sentidos possíveis) a d b c Teoria dos Grafos

Conexidade Grafo fortemente conexo ou f-conexo: é um grafo no qual todo par de vértices é mutuamente atingível. Assim, a todo par de vértices está associado um par de caminhos de sentidos opostos Todo vértice é atingível a partir de um vértice dado e todo vértice atinge todo vértice dado a b c Teoria dos Grafos

Níveis de Conexidade s-conexo f-conexo sf-conexo Teoria dos Grafos

Componentes f-conexas Atingibilidade recíproca: (simetria) Todo vértice é atingível a partir de si mesmo: (reflexividade) Se z é atingível a partir de y e y é atingível a partir de x então z é atingível a partir de x: (transitividade) relação de equivalência sobre o conjunto de vértices de G Teoria dos Grafos

Componentes f-conexas Um grafo orientado qualquer pode ser particionado em componentes f-conexas maximais. Se um grafo orientado é f-conexo: a partição é o próprio conjunto de vértices do grafo. Exercício: adaptar o algoritmo que determina componentes conexas para determinar componentes f-conexas Teoria dos Grafos

Árvores Uma árvore é um digrafo s-conexo sem circuitos ou ciclos no grafo não orientado associado a b c d Teoria dos Grafos

Corte de arcos Um corte de arcos em um grafo direcionado G induz ao particionamento de V em dois subconjuntos disjuntos disjuntos V1 e V2 de maneira que os arcos do corte possuem um dos extremos em V1 e o outro em V2. Todos os arcos no corte podem estar direcionadas de V1 para V2, de V2 para V1 ou em ambas as direções. Teoria dos Grafos