Física Aula 06 – Mecânica Prof.: Célio Normando

Assunto: Vetores II - Cálculo do módulo da resultante para dois vetores - Cálculo do módulo da resultante para n vetores - Produto de vetores

Cálculo do módulo da resultante para dois vetores F1F1  F2F2  Sejam dois vetores e que formam um ângulo  entre si, dispostos como mostra a figura seguinte:  F 1 R    F 2 A expressão é verdadeira ou falsa? R = F 1 + F 2    VERDADEIRA. E agora esta certo? R = F 1 + F 2 Não, pois o módulo da soma (R) não é igual a soma dos módulos dos vetores (F 1 + F 2 ).

 F 1   F 2 R  Cálculo do módulo da resultante para dois vetores R  F2F2  Prolongando-se a direção de e tirando-se uma perpendicular de até esta direção, obtêm-se os triângulos OAC e ABC.  o B A C No  OAC  OA 2 = OC 2 + AC 2 R 2 = F 2. sen 2  + F 2 + 2F 1 F 2. cos  + F 2.cos 2  121 R 2 = (F 1. sen  ) 2 + (F 2 + F 1. cos  ) 2 R 2 = F 2 (sen 2  +cos 2  ) + F 2 + 2F 1. F 2 cos  1 2 No  ABC AC = F 1 sen  BC = F 1 cos  R = F 2 + F 2 + 2F 1 F 2.cos  1 2 R 2 = F 2 + F 2 + 2F 1 F 2.cos  1 2

Casos particulares 1º Caso: e na mesma direção e no mesmo sentido. F1F1  F2F2   F1 F1  F2 F2 Processo Analítico  = 0  cos  = 1 R = F 2 + F 2 + 2F 1 F 2  R= (F 1 + F 2 ) 2  1 2 R = F 1 + F 2  F1 F1  F2 F2 R  Processo Geométrico Substituindo o valor do cos  na equação tem-se: R = F 2 + F 2 + 2F 1 F 2.cos  1 2

Casos particulares 2º Caso: e ortogonais F1F1  F2F2   F2 F2 R   F1 F1 Processo Geométrico Processo Analítico  = 90º cos  = 0 Substituindo o valor do cos  na equação geral: R = F 2 + F 2 1 2

 F1 F1  F2 F2 Casos particulares 3º Caso: e na mesma direção mas no sentido contrário. F1F1  F2F2  Processo Geométrico  F1 F1  F2 F2 R  Processo Analítico R = | F 1 - F 2 | R = F 2 + F 2 - 2F 1 F 2  R= (F 1 - F 2 ) Substituindo o valor do cos  na equação tem-se: R = F 2 + F 2 + 2F 1 F 2.cos  1 2 ou R = F 2 – F 1  = 180º  cos  =

Cálculo do módulo da resultante para n vetores O processo anterior torna-se bastante complexo quando se têm mais de dois vetores. Para a solução de um sistema de n vetores o processo mais adequado é o PROCESSO DA DECOMPOSIÇÃO EM COMPONENTES ORTOGONAIS. Para fins didáticos o sistema é constituído de apenas quatro vetores como mostra a figura seguinte. Y X  F2 F2  F3 F3  F4 F4  F1 F1    

Y X  F 1y  F 1x Cálculo do módulo da resultante para n vetores 1 o )Decompor todos os vetores segundo os eixos ortogonais XY. O processo da decomposição em componentes ortogonais consiste em: F 1X = F 1.cos  F 1Y = F 1.sen  F 2X = F 2.cos  F 2Y = F 2. sen  F 3X = F 3.cos  F 3Y = F 3.sen  F 4X = F 4.cos  F 4Y = F 4.sen   F1 F1  F 2x  F 2y  F2 F2  F 3x  F 3y  F3 F3  F4 F4  F 4x  F 4y

3º) De posse dos  F X e  F Y pode se calcular o módulo da resultante para o caso de dois vetores ortogonais pela expressão: Cálculo do módulo da resultante para n vetores R = (  F x ) 2 + (  F y ) 2 2º) Encontrar a resultante dos vetores nos eixos X e Y  F x =F 1. cos  + F 4.cos  - F 2. cos  - F 3. cos   F y =F 1. sen  + F 2. sen  - F 3. sen  - F 4. sen  Y X  F 1y  F 1x  F 2x  F 2y  F 3x  F 3y  F 4x  F 4y

Produto de vetores O produto de vetores difere do produto de escalares, pois existem dois casos: O produto de dois vetores obtendo-se como resultado um escalar. O produto de dois vetores obtendo-se como resultado um vetor.

Produto escalar de dois vetores Imagine dois vetores e que formam entre si um ângulo (  ). O produto escalar do vetor pelo vetor, cuja notação é (que se lê A escalar B), é definido: A  B  A  B  B  A.  A  B   =  B   B. cos   é uma grandeza escalar. A.  B  W =  W = F. d. cos  F.  d  A grandeza trabalho (W) é obtida do produto escalar da força pelo deslocamento. Por essa razão o trabalho é escalar.

Produto vetorial de dois vetores Dados os vetores e coplanares que formam entre si um ângulo , o produto vetorial de por, cuja notação é x (que se lê A vetor B), é um vetor cujas características são: A  B  A  B  C  A  B  Módulo = A.  B. sen   C  Direção Sentido Será determinado pela regra da mão esquerda. A  B  Perpendicular ao plano formado pelos vetores e A  B   C  A grandeza Momento estático é vetorial pois obtida do produto vetorial de dois vetores. M =  M = F. d. sen  F x  d  

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