Prof. Eng. Francisco Lemos Disciplina: Mecânica Geral Vetores e Equilíbrio de uma Partícula

Vetores São objetos ou entes matemáticos constituídos pela associação de um módulo (ou valor absoluto), direção e sentido a cada ponto do espaço. Exemplos: velocidade linear, aceleração, força, velocidade de rotação.

Representação dos Vetores Módulo do vetor: R; Direção: ângulo; Sentido: indicado pela seta. R O β Eixo fixo Linha de ação da força

As principais definições usadas na álgebra vetorial dois vetores são iguais se tem o mesmo módulo, sentido e direção, mesmo que tenham origem em pontos diferentes. Assim (AB) = (CD) se |AB| = |CD| e ambos tem o mesmo sentido e direção; AB CD

As principais definições usadas na álgebra vetorial dois vetores que tenham o mesmo módulo e direção, porém sentidos opostos são chamados de opostos e podem ser representados com a mesma designação porém uma com o sinal negativo. Exemplo: (AB) = - (BA); AB CD

As principais definições usadas na álgebra vetorial a soma ou resultante de vetores é obtido colocando-se a origem de um na extremidade de outro, independendo da seqüência ou ordem de colocação. Assim a resultante de [(OA) +( AB) + (CD)] é (OD); OA AB CD OD – Vetor Resultante

As principais definições usadas na álgebra vetorial a diferença entre os vetores [(AB) - (CD)] é o vetor (OP) tal que [(OP) + (CD)] = (AB). Define-se como vetor nulo o vetor cujo módulo é igual a zero. O vetor nulo não tem sentido ou direção. AB CD - CD OP

As principais definições usadas na álgebra vetorial o produto de um escalar m por um vetor (AB) é um vetor de mesma direção de (AB) , módulo igual a [m.|AB|] , mesmo sentido se m > 0 e sentido oposto se m < 0 . AB 2AB - 2AB

Leis Operacionais

A soma de dois vetores é comutativa Adição de Vetores Lei do Paralelogramo A soma de dois vetores P e Q é obtida aplicando os dois vetores em um mesmo ponto A e construindo um paralelogramo que tem P e Q como lados. A diagonal que passa por A representa a soma dos vetores P e Q, indicada por P + Q = R. A soma de dois vetores é comutativa P + Q = Q + P

Adição de Vetores Regra do triângulo Como o lado do paralelogramo oposto a Q e é igual a Q em intensidade e direção, poderíamos desenhar apenas a metade do paralelogramo. A soma dos dois vetores pode ser então determinada pelo reposicionamento de P e Q, de modo que a origem de um vetor esteja sobre a extremidade do outro, e então unindo a origem de P com a extremidade de Q. Q P + Q P P P + Q Q

Subtração de vetores É somar o correspondente vetor oposto Q - Q R P – Q = P + (- Q) = R

Adição de três ou mais vetores A soma de três vetores P, Q e S será por definição, obtida pela adição inicial dos vetores P e Q, e então, somando o vetor S ao vetor P + Q. P + Q + S = (P + Q) + S A soma de três vetores será obtida pela adição do terceiro vetor à soma dos dois primeiros. Segue-se que a soma de qualquer Nº de vetores pode ser obtida pela aplicação repetida da LP aos sucessivos pares de vetores, até que todos vetores tenham sido substituídos por um único vetor.

Adição de três ou mais vetores Regra do polígono A soma de três vetores P e Q e S pode ser obtida diretamente pelo arranjo dos vetores, de modo que a origem de um vetor coincida com a extremidade do anterior e unindo a origem do primeiro vetor com a extremidade do último. OA AB CD OD – Vetor Resultante Obs:todos os vetores são coplanares.

Componentes cartesianas de uma força F = Fxi+ Fyj, onde Fxi, e Fyj são as componentes vetoriais. Componentes Cartesianas A intensidade de F: F = (F2x+ F2y)1/2.

Componentes cartesianas de mais de uma força Quando há mais do que uma força aplicada numa partícula, as componentes da força resultante são: R = P + Q + S Decompondo as forças em suas componentes cartesianas, temos: Rxi + Ryj = Pxi + Pyj + Qxi + Qyj + Sxi + Syj = (Px + Qx + Sx)i + (Py + Qy + Sy)j

Componentes cartesianas de mais de uma força Onde, Rx = Px + Qx + Sx e Ry = Py + Qy + Sy

Exemplo 1 Calcule a força resultante do sistema abaixo:

Exemplo 2 A estaca deve ser arrancada do solo usando-se duas cordas A e B. A corda esta submetida a uma força de 600 lb orientada a 600 a partir da horizontal. Se a força resultante que atua verticalmente para cima sobre a estaca for de 1200 lb, determine a força T na corda B e o ângulo correspondente θ.