Introdução a Lógica Matemática João Marques Salomão Curso de Engenharia Elétrica Coordenadoria de Eletrotécnica CEFET-ES Introdução a Lógica Matemática - 2007/1

Proposições Compostas Os conectivos Lógicos ~: não; ۸: e; ۷: ou; : condicional e  : bicondicional permitem formar proposições compostas a partir de proposições simples ou fórmulas atômicas. Símbolos Auxiliares: ( ), parênteses servem para denotar o "alcance" dos conectivos. Exemplo: Se a lua é quadrada e a neve é branca então a lua não é quadrada:  ((p ۸ q)  ~ p) · Definição de Fórmula: 1. Toda fórmula atômica é uma fórmula. 2. Se A e B são fórmulas então: (~ A), (A ۸ B), (A ۷ B), (A  B), (A  B) também são fórmulas. 3. São fórmulas apenas as obtidas por 1 e 2. Introdução a Lógica Matemática - 2007/1 – p. 2

As Tabelas Verdade no Cálculo Proposicional O uso das TVs e das operações lógicas básicas (¬p, p ۸ p, p۷q, pq, pq) permite construir a TV de qualquer proposição composta mostrando os casos em que seu valor lógico será verdadeiro ou falso; A TV de uma proposição composta P com n proposições simples é constituída de 2n linhas. Considerando a TV de uma proposição composta com n proposições simples , temos que a coluna correspondente à k-ésima proposição pk (kn) terá, alternadamente 2n/2k valores lógicos F seguidos de igual número de valores V. Introdução a Lógica Matemática - 2007/1 – p. 3

A TV de Proposições Compostas Em uma proposição composta constituída de p, q e r proposições simples ou atômicas, temos que: A TV terá: n = 3 e 2n =23 = 8 linhas. - Para p temos k=1, e 23/21 = 22 = 4 valores F seguidos de 4 V - Para q temos k=2, e 23/22 = 21 = 2 valores F seguidos de 2 V alternadamente até completar a tabela. - Para r temos k=3, e 23/23 = 20 = 1 valor F seguido de 1 V Ex: Construir a TV da fórmula: P(p,q) = ((p ۷ q)  ~p)  (q ۸ p). Solução: a TV terá 4 linhas e 7 colunas p q ((p ۷ q)  ~p) (q ۸ p). F V Introdução a Lógica Matemática - 2006/1 – p. 4

Introdução a Lógica Matemática - 2007/1 – p. 5 Exemplos 1 – Construir a TV da proposição: P(p,q)= ¬(p ۸ ¬ q) Solução: a TV terá 4 linhas e 5 colunas. Simbolicamente: P(FF)=V, P(FV)=V, P(VF)=F, P(VV)=V. 2 – Idem para: P(p,q)= ¬(p ۸ q)۷ ¬(q  p) Solução: Simbolicamente: P(FF)=V, P(FV)=V, P(VF)=V, P(VV)=F. Ou abreviadamente: P(FF, FV, VF, VV) = VVVF 0 (F) 1 (V) ¬ q p ۸ ¬ q ¬(p ۸ ¬ q) q p 0 (F) 1 (V) 1(V) ¬(p ۸ q) ¬(q  p) p ۸ q q  p ¬(p ۸ q) ۷ ¬(q  p) q p Introdução a Lógica Matemática - 2007/1 – p. 5

Valor Lógico de Prop. Composta Dado a proposição composta P(p,q,r,...) é sempre possível determinar o seu valor lógico V(P) quando são conhecidos os valores lógicos das proposições p, q, r,... Exemplos: Determinar o valor lógico da proposição V(P) nos seguintes casos: a) P(p,q) = ~(p ۷ q) ~p۸~q onde V(p) = V e V(q) = F. Sol:. V(P) = ~(V ۷ F) ~V۸~F = ~V F۸V = FF = V b) P(p,q) = (pq)  (pp۸q) onde p:  = 3 e q: sen /2 = 0. Sol:. V(P) = (F  F)  (F  F۸ F) = V  (F  F) = V  V = V c) P(p,q,r) = (q(r~p)) ۷ ((~q  p)  r) onde V(p)=V, V(q)=F e V(r)=F. Sol:. V(P) = (F(F~V)) ۷ ((~F  V) F) = = (F(FF)) ۷ ((V  V) F) = (FV) ۷ ( V F) = F ۷ F = F Introdução a Lógica Matemática - 2007/1 – p. 6

Uso de Parênteses e Precedência O uso de parêntesis serve para evitar ambigüidades, por exemplo a proposição P = p ۸ q ۷ r pode gerar as proposições: P1 = (p ۸ q) ۷ r ou P2 = p ۸ (q ۷ r). Muitos parêntesis podem ser suprimidos se forem observadas as convenções: a) ordem de precedência dos conectivos: (1) ~ (2) ۸ e ۷ (3)  (4)  Isto é o conectivo mais fraco é ~ e o mais forte , assim a proposição: pq  s ۸ r é uma bicondicional e não uma condicional. b) eliminação dos parêntesis via associação a partir da esquerda de um mesmo conectivo repetido sucessivamente. Exemplos: 1) ((~(~(p ۸ q))) ۷ (~p )) = ~~(p ۸ q)۷ ~p 2) ((p ۷ (~q)) ۸ (r ۸ (~p ))) = (p ۷ ~q) ۸ (r ۸ ~p Introdução a Lógica Matemática - 2007/1 – p. 7

Introdução a Lógica Matemática - 2007/1 – p. 8 Tautologias Uma tautologia é uma proposição composta que sempre assume valor lógico verdadeiro para qualquer atribuição de valores lógicos dados as proposições simples. Exemplos: Use a TV e mostre que são tautológicas: a) P1(p) = p  p e P2(p) = p  p; (Princípio da identidade). b) P(p)= ~(p ۸ ~p); (Princípio da não contradição). c) P(p)= p ۷ ~p; (Princípio do terceiro excluído). d) P(p,q)= p ۷ ~(p ۸ q); e) P(p,q)= p ۸ q  (p  q) ; f) P(p, q, r)= p ۸ r  ~q ۷ r ; Introdução a Lógica Matemática - 2007/1 – p. 8

Introdução a Lógica Matemática - 2007/1 – p. 9 Contradições Uma contradição ou proposição contra-válida é uma proposição composta que assume valor lógico falso para qualquer atribuição de valores lógicos dados as proposições simples. Exemplos: Use a TV e mostre que são contradições : a) P(p)= p ۸ ~p; b) P(p)= p  ~p; d) P(p,q)= (p ۸ q) ۸ ~( p ۷ q); e) P(p,q)= ~p ۸ (p ۸ ~ q); Obs: Contingência é uma proposição composta que não assume as formas de tautologia ou contradição. Introdução a Lógica Matemática - 2007/1 – p. 9

Introdução a Lógica Matemática - 2007/1 – p. 10 Equivalência Lógica Uma proposição P composta é logicamente equivalente a uma outra Q (PQ ) quando os seus valores de verdade coincidem em cada linha das últimas colunas de suas TVs. Dessa forma, P é equivalente a Q se, e somente se, a bicondiconal PQ é uma tautologia. Propriedades da equivalência lógica: 1) Reflexiva: PP; 2) Simétrica: se PQ, então QP; 3) Transitiva: se PQ e QR, então PR; 4) se P e Q são ambas tautologias ou contradições, então PQ ; Introdução a Lógica Matemática - 2007/1 – p. 10

Introdução a Lógica Matemática - 2006/1 – p. 11 Implicação Lógica Uma proposição P composta implica logicamente uma outra Q (PQ ) se Q é verdadeira toda vez que P for verdadeira. Dessa forma, P implica Q se, e somente se, a condiconal PQ é uma tautologia. Propriedades da implicação lógica: 1) Reflexiva: P  P; 2) Anti-simétrica: se PQ e QP, então PQ; 3) Transitiva: se PQ e QR, então PR; Obs: Os símbolos  e  são conectivos sendo usados em expressões lingüísticas, enquanto  e  são usaodos para denotar a relação entre proposições. Introdução a Lógica Matemática - 2006/1 – p. 11