O mundo não é unidimensional A Física em 2 e 3 dimensões

Referências: “Mecânica Vetorial para Engenheiros” F.P. Beer &E.R. Johnston Jr. 5ª edição seção11.13 e 11.14 e 12.11

Exemplos clássicos: Lançamento oblíquo Movimento de uma carga em um campo magnético Elétron em torno do núcleo O sistema solar Para descrever, explicar estes movimentos precisamos de um sistema de referência

PARA SIMPLIFICAR! Porque diferentes sistemas de coordenadas? A escolha do sistema de coordenadas vai depender das forças de interação entre os componentes e da geometria. Nem sempre o sistema cartesiano tradicional com os eixos x,y,z será o melhor

Um exemplo do ensino médio: o plano inclinado Fx =max ;; Fy =max

A necessidade de um novo sistema de coordenadas O pêndulo simples: M Duas forças atuam sobre a massa m. Tensão na corda e força peso. A força peso é constante, mas a tensão varia com o tempo, pois sua direção varia com o tempo. Qual o melhor sistema de referência para este caso?

M x y Não parece muito bom pois as coordenadas x e y da bolinha mudam. Teremos x(t) e y(t).

Coordenadas polares y P r ϴ x Para determinar a posição P precisamos de dois números, ou x e y ou r e ϴ. x = r cos(ϴ) .. y=rsen(ϴ) A escolha depende do sistema. Qualquer sistema pode ser escolhido, mas em um deles a solução ( encontrar a posição como função do tempo) é mais fácil.

A segunda lei de Newton em coordenadas polares A velocidade como passar de vx Mas muda com o tempo!

Voltando ao pêndulo M ϴ F r =0 F ϴ =mg sen(ϴ) e r é constante

Outro exemplo Forças centrais Força depende somente da distância entre os objetos e atua somente na direção que une os objetos. .

O que isto significa: Área =basexaltura/2 dA=1/2 r r dϴ rdϴ r d ϴ

Segunda lei de Kepler: A linha que une um planeta até o Sol percorre áreas iguais em tempos iguais. Para um objeto sob a ação de uma força central o momento angular é constante!

A equação radial

A equação radial

V=-k/r 1...força gravitacional -sempre atrativa 2. força eletrostática -repulsiva ou atrativa

V=-1/r Atrativo. Partícula irá para a origem. (Terra cai no Sol- elétron- colapsa no núcleo!)

V=1/r2 Repulsivo , partícula vai para o infinito. Nada fica em “órbita”

Os dois simultaneamente! Agora temos um ponto de mínimo diferente de zero e diferente de infinito!

Voltando para a segunda lei de Newton e a equação diferencial:

Seções cônicas!!. Hypatia de Alexandria!