2PFG/DE/FEM/UNICAMP – FUNDAMENTOS EM CFD jun-15 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza1 VOLUMES FINITOS Prof. Dr. Ricardo A. Mazza 2PFG/DE/FEM/UNICAMP

2PFG/DE/FEM/UNICAMP – FUNDAMENTOS EM CFD jun-15 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza2 BIBLIOGRAFIA Suhas V Patankar – Numerical Heat Transfer and Fluid Flow Versteeg H. K. and Malalasekera W – An introduction to computational fluid dynamics: The finite volume method

2PFG/DE/FEM/UNICAMP – FUNDAMENTOS EM CFD jun-15 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza3 Forma geral da equação de transporte t é o tempo; r é a densidade; V é o vetor velocidade; f é a propriedade a ser conservada; G é o coeficiente de difusão de f ; S representa os termos fontes;

2PFG/DE/FEM/UNICAMP – FUNDAMENTOS EM CFD jun-15 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza4 Equações de transporte Eq.  S Massa100 Qt. de Movimento  EnergiaTk/Cp

2PFG/DE/FEM/UNICAMP – FUNDAMENTOS EM CFD jun-15 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza5 Equação de conservação no Phoenics  representa uma variável genérica que pode ser: u1, u2, v1, v2, w1, w2, k, , h1, h2, C1 a C150. P não aparece na lista pois ela é calculada por meio das sucessivas correções da pressão que vem dos ajustes de velocidade para satisfazer o balanço de massa. (método SIMPLE)

2PFG/DE/FEM/UNICAMP – FUNDAMENTOS EM CFD jun-15 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza6 Modelos matemáticos simplificados As equações de transporte são complexas pelos termos não lineares e acoplamentos; Há uma redução do esforço computacional quando se modela o escoamento de forma mais simples: – Laminar / Turbulento – Incompressível / Compressível – Euler (s/ viscosidade) / Navier Stokes (viscoso) – Potencial (irrotacional) / Euler (rotacional) – Stokes (Re -> 0 ) / Re ~ 1 (inercia e viscoso dominantes) – Camada Limite (Re -> inf) / Re ~ 1 (inercia e viscoso dominantes) Mas não tem jeito: –Reações químicas (combustão), turbulência, interações entre fases e domínio complexo surgem simultâneamente

2PFG/DE/FEM/UNICAMP – FUNDAMENTOS EM CFD jun-15 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza7 Método dos Volume Finitos (VF) Utiliza a forma integral das equações como ponto de partida. O domínio de solução é subdividido em um número finito de volumes de controle, VC, adjacentes entre sí onde as equações de conservação são aplicadas. Cada variável é calculada no centroide de cada VC; –Os valores das variáveis e propriedades nas faces do VC são determinados por interpolação. O método VF pode acomodar qualquer tipo de grade e é, portanto, aplicável para geometrias complexas. A grade define as fronteiras do VC e não é necessariamente relacionada a um sistema de coordenadas.

2PFG/DE/FEM/UNICAMP – FUNDAMENTOS EM CFD jun-15 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza8 Volume de controle O domínio de cálculo é dividido em volumes cujas faces são identificadas pelas direções cardiais West-East (x), South-North (y) e Low- High (z) x y z P North East High

2PFG/DE/FEM/UNICAMP – FUNDAMENTOS EM CFD jun-15 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza9 Discretização do meio contínuo no espaço e no tempo & nomenclatura das direções

2PFG/DE/FEM/UNICAMP – FUNDAMENTOS EM CFD jun-15 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza10 Discretização no espaço Molécula computacional O método dos Volumes Finitos representa a influência que o ponto P recebe dos vizinhos na forma de produtos de coeficientes e do valor das variáveis

2PFG/DE/FEM/UNICAMP – FUNDAMENTOS EM CFD jun-15 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza11 Sistema resultante As equações discretizadas formam um sistema de equações algébricas lineares, constituido da soma das ‘moléculas computacionais’ de cada VC. Os coeficientes (a P e a nb ) levam as informações sobre transporte convectivo e difusivo da propriedade –São sempre positivos. Há diversos esquemas discretizantes; –A escolha de cada um influência na solução e na taxa de convergência.

2PFG/DE/FEM/UNICAMP – FUNDAMENTOS EM CFD jun-15 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza12 Grade computacional A localização discreta onde as variáveis serão calculadas é definida pela grade computacional. A grade é uma representação do domínio geométrico onde o problema será resolvido. A grade transmite ao modelo informações a respeito da localização do centróide do VC e dos centros das faces, das áreas das faces e do volume e também da distância entre centróides e faces de VC adjacentes.

2PFG/DE/FEM/UNICAMP – FUNDAMENTOS EM CFD jun-15 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza13 Definição da grade Define a precisão numérica da solução uma vez que as variáveis são calculadas em pontos discretos definidos pela grade. Influencia na taxa de convergência (ou divergência) da solução. Define o custo computacional: –É basicamente determinado pelo tamanho da grade.

2PFG/DE/FEM/UNICAMP – FUNDAMENTOS EM CFD jun-15 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza14 Tipos de grades - Cartesianas Uniforme Cartesiana Não-Uniforme Power Não-Uniforme duas regiões Uniforme Polar Não-Uniforme Fine Grid Embedding

2PFG/DE/FEM/UNICAMP – FUNDAMENTOS EM CFD jun-15 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza15 Definição do espaçamento da grade É necessário controlar o espaçamento da grade para capturar características do escoamento que mudam rápidamente (altos gradientes) e ao mesmo tempo economizar tempo computacional em regiões que variam lentamente. O tamanho da grada é um ‘filtro’ do tamanho do fenômeno que se quer detectar. Estruturas do escoamento menores que 2x o espaçamento da grade não serão detectadas (alaising).

2PFG/DE/FEM/UNICAMP – FUNDAMENTOS EM CFD jun-15 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza16 Escoamento de Camada Limite. Aplica-se grades não- uniformes Power ou duas- regiões Esteira de Vórtices em cilindros. Aplica- se ‘fine grid embedding’ para capturar as dimensões dos vórtices

2PFG/DE/FEM/UNICAMP – FUNDAMENTOS EM CFD jun-15 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza17 Geometrias complexas Body Fitted Coordinates - BFC Ortogonal ou Não Ortogonal Multi-Block Ortogonal ou Não Ortogonal

2PFG/DE/FEM/UNICAMP – FUNDAMENTOS EM CFD jun-15 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza18 Novo método Grade Cartesiana com Objetos Imersos: Iteração volume a volume tipo ‘escada’ ou; Iteração via software com algoritmo PARSOL

2PFG/DE/FEM/UNICAMP – FUNDAMENTOS EM CFD jun-15 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza19 Condições de contorno e iniciais Qualquer modelo matemático expresso por meio de eq. diferenciais não é completo a menos que sejam definidas as CC e CI; As CC e CI variam dependendo do tipo de equação diferencial que o modelo emprega. As equações diferenciais parciais de segunda ordem são classificadas por três tipos: –Elípticas, Parabólicas e Hiperbólicas.

2PFG/DE/FEM/UNICAMP – FUNDAMENTOS EM CFD jun-15 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza20 Equações hiperbólicas A informação se propaga com velocidade finita em duas direções; Região influenciada pelo valor do ponto C P X Y a b c P depende das informações ao longo do segmento a-b Região influenciada pelo valor do ponto P Característica a esquerda Característica a direita

2PFG/DE/FEM/UNICAMP – FUNDAMENTOS EM CFD jun-15 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza21 Características (Mach const.) Y X C.C.: necessário conhecer u & v ou  ao longo da linha

2PFG/DE/FEM/UNICAMP – FUNDAMENTOS EM CFD jun-15 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza22 Equações parabólicas A informação se propaga com velocidade finita em uma direção; A informação de P influencia a solução somente em um lado do plano XY; –Influência a solução somente aos pontos à sua direita; –Depende dos valores à sua esquerda mas não da sua direita. A solução numérica utiliza um processo de marcha em X e é necessário especificar somente um fronteira; X Y P Região influenciada pelo valor do ponto P

2PFG/DE/FEM/UNICAMP – FUNDAMENTOS EM CFD jun-15 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza23 Y X u = Uinlet u = Uext u = 0

2PFG/DE/FEM/UNICAMP – FUNDAMENTOS EM CFD jun-15 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza24 Equações elípticas A informação se propaga em todas direções com velocidade infinita. Fisicamente significa que a informação de P recebe a influência de todos os pontos do domínio! –Só é possível obter uma solução se você conhecer os valores em todo o contorno; X Y P a bc d

2PFG/DE/FEM/UNICAMP – FUNDAMENTOS EM CFD jun-15 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza25 T = 0 Dirichlet q”= -k  T/  x Neuman  T/  x = 0 Neuman  T/  x = 0 Neuman

2PFG/DE/FEM/UNICAMP – FUNDAMENTOS EM CFD jun-15 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza26 Condições iniciais Tal como o espaço o tempo também é representado numa grade cujos volumes variam com incrementos no tempo.

2PFG/DE/FEM/UNICAMP – FUNDAMENTOS EM CFD jun-15 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza27 Condições iniciais Como na geometria, há uma grade temporal; Os modelos transientes são de natureza PARABÓLICA no tempo; –Um evento no futuro não pode influenciar o que acontece no presente. –Nenhuma condição pode ser imposta na solução (exceto no contorno) em qualquer instante após o início (t=0). –É especificado com uma condição ou campo inicial. Existem duas possibilidades de implementação de esquemas transientes: –IMPLÍCITA (default) –EXPLÍCITA

2PFG/DE/FEM/UNICAMP – FUNDAMENTOS EM CFD jun-15 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza28 Esquema explícito O cálculo das variáveis no próximo passo de tempo depende somente dos valores das variáveis no tempo anterior; Computacionalmente é mais simples que o esquema Implícito. Para obter uma solução estável, o avanço no tempo e no espaço estão limitados: restrição no passo de tempo; relação entre coeficientes de convecção e difusão;

2PFG/DE/FEM/UNICAMP – FUNDAMENTOS EM CFD jun-15 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza29 Esquema implícito O cálculo das variáveis para o próximo passo de tempo depende dos valores das variáveis no tempo anterior e atual; Computacionalmente é mais complexo que o esquema Explícito pois requer cálculos iterativos; Ele é intrinsicamente estável;

2PFG/DE/FEM/UNICAMP – FUNDAMENTOS EM CFD jun-15 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza30 FIM !