Splines A Perfect Fit for Signal and Image Processing Michael Unser, IEEE Signal Processing Mag Grupo de Discussões InCor - São Paulo, 29 de agosto de 2008 Mônica Matsumoto

Domínio discreto: l 2 (Z p ) f(x), x Z p Objetivos Splines Amostragem e aquisição de sinais –interpolação Algorítimos contínuos e discretos –Detecção de contornos, registration.. Abordagens Multi-escalas –Espaço de escalas (fator m de dilatação) –Pirâmides, wavelets –Multi-resolução Domínio contínuo: L 2 (R p ) f(x), x R p

Splines: Definição Def: uma função s(x) é um polinômio spline de ordem n com nós x k, se satisfizer as seguintes propriedades: –s(x) é um polinômio contínuo por partes de grau n dentro de cada intervalo [x k, x k+1 [. –Derivadas até ordem n-1 contínuas nos pontos x k. Graus de liberdade por segmento: 1 n+1 – n = 1 (coeficientes) (restrições de cont até ordem n-1) (grau de liberdade) Ex. Polinômio de terceira ordem. f(x) = ax 3 +bx 2 +cx+d –Ordem: 3  n, –Coeficientes (a,b,c,d): 4  n+1, –Restrição de suavidade (derivada no ponto):3  n {s(x k ), s’(x k ), s’’(x k )}

B-Splines  0 (x)= B-Spline de ordem n  Convolução (n+1) vezes da B-Spline de ordem Zero

Representação B-Spline Schoenberg, 1946 Representação única por expansão na base de B-splines (combinação linear de coeficientes c(k) única, ver definições de produto interno e base deste espaço de funções)

Representação B-Spline: Ordem 0 Exemplo 0. Decomposição em combinação linear em B-Splines de ordem Zero. Analógico Digital

Representação B-Spline: Ordem 1 Exemplo 1. Decomposição em combinação linear em B-Splines de ordem Um. Analógico Digital

Representação B-Spline: Ordem n Para ordem 0 e 1: c(k) = s(x k ) E demais ordens??? Situação mais complexa. –Técnicas numéricas com matrizes. –Técnicas de processamento de sinais  Filtragem digital.

Interpolação B-Spline via Filtro Digital Kernel b n m das B-Splines discretas, amostragem da B- Spline de ordem n, expandida por um fator m contínuo discreto

Interpolação B-Spline via Filtro Digital Interpolação: Solução inversa do filtro Implementação recursiva eficiente (Z) Causal Não-Causal

Interpolação Splines Cardinais n  infinito, converge para filtro ideal

Aplicações Transformação geométrica da imagem –Zoom, rotação, redimensionamento, warping... Interpolação e amostragem –Processo rápido e de alta performance –Filtro multi-escala rápido (Algoritmo Árvore) Extração de atributos (features) –Contornos, geometria diferencial, pirâmides, forma, contornos ativos, formas Análise de movimento –Optical flow

Conclusões Características splines –Fácil de manipular –Suave e bem-comportada –Excelentes propriedades de aproximação –Propriedades de multiresolução Splines e processamento de imagens –Histórico de estranhamento, mais recentemente, aproximação –Melhores resultados custo-performance –Muitas aplicações!