Álgebra Linear e Geometria Analítica 2ª aula

Mais matrizes especiais

Matrizes em escada

Exemplo:

Exemplo:

Exemplo:

Matrizes condensadas

Exemplo:

Exemplo:

Mas afinal como reconhecer se uma matriz está ou não em forma de escada ou está condensada?

Definição: Matriz em forma de escada Diz-se que uma matriz Amn está em forma de escada se para toda a linha i = 1, … , m acontecer: Se a linha i é nula todas as linhas abaixo de i são nulas; Se a linha i não é nula e aik é o seu primeiro elemento não nulo, todos os elementos da coluna k abaixo de aik são nulos assim como os elementos das colunas anteriores da linha k para baixo.

Definição: Matriz em forma de escada (usando notação matemática) Diz-se que uma matriz Amn está em forma de escada se para toda a linha i = 1, … , m acontecer: Se a linha i é nula e p > i a linha p é nula; Se a linha i não é nula e aik é o seu primeiro elemento não nulo, então para p > i e q  k, apq = 0.

Definição: PIVOT (numa linha nula não há nenhum pivot) Quando uma matriz está em forma de escada ao primeiro elemento não nulo de cada linha chama-se pivot. (numa linha nula não há nenhum pivot) (em cada coluna há no máximo um pivot)

Exemplo matriz em escada:

Exemplo matriz em escada:

Algumas considerações: As linhas nulas ficam sempre na parte de baixo da matriz Pode haver colunas nulas em qualquer posição Qualquer linha tem sempre o pivot para a direita dos pivots das linhas acima dela

Definição: Matriz condensada Diz-se que uma matriz Amn está na forma condensada se é uma matriz em escada e Todos os pivots são iguais a 1; Se aik é o pivot da linha i todos os elementos da coluna k acima de aik são nulos.

Exemplo de matriz condensada:

Exemplo de matriz condensada:

Qualquer matriz pode ser transformada numa matriz em escada ou numa matriz condensada

COMO?

Operações elementares sobre as linhas de uma matriz

Tipos de Operações Elementares

Tipos de Operações Elementares Tipo I: Trocar duas linhas L1 L3

Tipos de Operações Elementares Tipo II: Multiplicar uma linha por um escalar não nulo 0.5L1

Tipos de Operações Elementares Tipo III: Somar a uma linha outra multiplicada por um escalar L2 L2- 0.5L1

Exemplos:

Exemplos:

Exemplos:

Exemplos:

Exemplos:

Exemplos:

A partir de uma matriz podem-se obter várias matrizes em escada, mas uma única matriz condensada

Definição: Característica de uma matriz A característica de uma matriz Amn é igual ao número de linhas não nulas numa sua forma de escada. (é também igual ao número de colunas que têm um pivot e é igual ao número de pivots) Representa-se por car(Amn )

A uma coluna onde há um pivot chama-se coluna principal. A uma coluna onde não há um pivot chama-se coluna livre. A uma coluna onde há um pivot chama-se coluna principal.

EXEMPLO: Determinar a característica de:

Determinar a característica de: L3 L3 + (-1) L1

Determinar a característica de: L3 L3 + (-1) L1

Determinar a característica de: L3 L3 + (-1) L1

A matriz está em forma de escada. Há 3 pivots A matriz tem característica 3. As colunas principais são as 3 primeiras e as duas últimas são as livres;

Determinar a característica de:

Determinar a característica de:

Determinar a característica de:

Determinar a característica de:

Determinar a característica de:

Determinar a característica de:

Determinar a característica de: A matriz está em forma de escada. Há 4 pivots. A característica da matriz é 4.