TRANSFORMADA DE LAPLACE Motivação. Definição: expressão algébrica e região de convergência. Propriedades da região de convergência. Transformada inversa. Propriedades da transformada de Laplace. Representação de SLITs contínuos usando a transformada de Laplace. Propriedades dos SLITs e sua relação com a região de convergência da função de transferência.

Motivação SLIT convolução produto TL TL-1

Definição Exponencial direita para

Definição Exponencial esquerda para

Definição

Exemplos Mapa polos/zeros Ex. 1 zero: polos:

Tabela Exemplos Ex. 2 Mapa polos/zeros

Tabela Exemplos Ex. 3 não tem transformada de Laplace

Propriedades da Região de Convergência (RC) A RC é constituída por faixas do plano s paralelas ao eixo imaginário. P2 A RC não contém polos. P3 Se for de duração finita e se existir pelo menos um valor de para o qual a transformada de Laplace converge, então a RC é o próprio plano , exceptuando eventualmente as rectas ou .

Propriedades da Região de Convergência (RC) Re(s) Im(s) Se for um sinal direito e se a recta pertencer à RC, então todos os valores de tais que também pertencem à RC. Re(s) Im(s) P5 Se for um sinal esquerdo e se a recta pertencer à RC, então todos os valores de tais que também pertencem à RC.

Propriedades da Região de Convergência (RC) Re(s) Im(s) Se for um sinal bilateral e se a recta pertencer à RC, então a RC é uma faixa do plano que contém a recta .

Propriedades da Região de Convergência (RC) Exemplo Quais são as RC que é possível associar a este mapa polos/zeros? Para cada RC, diga se o sinal no tempo é de duração finita, esquerdo, direito ou bilateral. sinal esquerdo sinal bilateral sinal direito

Transformada de Laplace inversa Funções racionais 1º Expansão em fracções simples de X(s)

Transformada de Laplace inversa Funções racionais 2º Identificação da RC associada a cada uma das fracções 3º Determinação, por simples inspecção, da transformada de Laplace inversa de cada um dos termos

Transformada de Laplace inversa Funções racionais E se… obtém-se…

Propriedades da transformada de Laplace P1: Linearidade Se então Ex.

Propriedades da transformada de Laplace P2: Translação no Tempo Se então excepto para a possível inclusão/exclusão de Ex.

Propriedades da transformada de Laplace P3: Translação no Domínio da Transformada Se então Ex.

Propriedades da transformada de Laplace P4: Mudança de Escala Se então Ex.

Propriedades da transformada de Laplace P5: Convolução Se então Ex.

Propriedades da transformada de Laplace P6: Diferenciação no Domínio do Tempo Se então Ex. 1 Ex. 2 Tabela:

Propriedades da transformada de Laplace P7: Diferenciação no Domínio da Transformada Se então Ex.

Propriedades da transformada de Laplace P8: Integração no Domínio do Tempo Se então Nota: pela propriedade da convolução Ex.

Exemplos Sabendo que , determine a transformada de Laplace de Ex. 1 Diferenciação no domínio da transformada Translação no domínio da transformada Translação no tempo

Exemplos Sabendo que , determine o sinal . Ex. 2 Diferenciação no tempo Ex. 2 Sabendo que , determine o sinal . Translação no tempo

Propriedades da transformada de Laplace P9: Teorema do Valor Inicial Se para e se não contiver impulsos ou singularidades de ordem superior na origem , o limite de quando por valores positivos é P10: Teorema do Valor Final Se para e se convergir para um valor constante quando , então

TVI: TVF: Exemplo

Resposta Impulsional Função de Transferência Ex. SLIT

Resposta no Tempo Exemplo 1. 2.

Resposta no Tempo Exemplo 1. 2. 3. Alternativa: sistema linear x3(t) não tem transformada de Laplace sistema linear 3. Alternativa:

Resposta Impulsional Função de Transferência SLITs em série – propriedade da convolução

Resposta Impulsional Função de Transferência SLITs em paralelo – propriedade da linearidade

Função de Transferência Realimentação Analisar o SLIT no domínio do tempo não é simples; Obter a expressão algébrica da função de transferência entre a entrada e a saída é imediato.

Equação Diferencial Função de Transferência SLIT Linearidade Diferenciação no tempo

Equação Diferencial Função de Transferência SLIT Ex. SLIT TL E a região de convergência de ? A equação diferencial não dá informação sobre a região de convergência de . É necessário informação adicional, nomeadamente sobre a estabilidade ou causalidade do SLIT, para inferir a região de convergência de .

Propriedades dos SLITs SLIT causal: 1. de duração limitada com A região de convergência de é todo o plano incluindo a recta Ex. 1 sistema causal: sistema não causal:

Propriedades dos SLITs SLIT causal: 1. de duração limitada com A região de convergência de é todo o plano incluindo a recta Ex. 2 sistema causal: sistema não causal: sistema não causal:

Propriedades dos SLITs SLIT causal: 1. de duração limitada com A região de convergência de é todo o plano incluindo a recta sistema não causal Ex. 3 SLIT

Propriedades dos SLITs SLIT causal: 2. de duração ilimitada com … A região de convergência de é a região do plano para a direita de uma recta paralela ao eixo imaginário, incluindo . Quando é uma função racional e a região de convergência é direita, incluir na região de convergência é equivalente a . Ex 1. Sistema causal Sistema não causal

Propriedades dos SLITs SLIT causal: 2. de duração ilimitada com … A região de convergência de é a região do plano para a direita de uma recta paralela ao eixo imaginário, incluindo . Quando é uma função racional e a região de convergência é direita, incluir na região de convergência é equivalente a . Ex 2. Sistema não causal Sistema causal Sistema não causal

Propriedades dos SLITs SLIT estável: Para , i.e., quando o SLIT é estável. condição necessária para que o sistema seja estável Para racional, a condição anterior é também condição suficiente desde que , i.e.

Propriedades dos SLITs SLIT estável: Ex 1. SLIT sistema instável tem 1 zero mas não tem polos

Propriedades dos SLITs SLIT estável: Ex 2. Sistema estável Sistema instável Sistema instável

Propriedades dos SLITs Exemplo: SLIT equação diferencial função de transferência SLIT causal SLIT estável

Propriedades dos SLITs Mapa polos/zeros Exemplo SLIT causal Sistema causal: Valor final da resposta à entrada escalão unitário: Função de transferência do sistema: Mapa polos/zeros: Teorema do valor final: