Modelagem Matemática Aplicada à Engenharia Civil Maria 𝐂𝐥𝐚𝐫𝐚 𝟏∗ , Ruberlei de Faria 𝟐 𝟏 Faculdade de Engenharia de Bauru– Dep. de Eng. Civil 2 Universidade Tecnológica Federal do Paraná– UTFPR− Câmpus Cornélio Procópio ∗ maria_clara2@hotmail.com, ruberlei@utfpr.edu.br Introdução Em diversas esferas de nosso meio, surgem problemas em que são necessárias descrições de funções a partir do conhecimento prévio de suas taxas de variação (em termos matemáticos, suas derivadas), isto é, da solução de uma equação diferencial. Nas últimas décadas vários autores ressaltaram que as derivadas e integrais de ordens não inteiras são muito satisfatórias na descrição das propriedades de materiais utilizados, tais como os polímeros. Foi provado que o assim chamado cálculo fracionário acaba por ser ainda mais útil em certas situações para descrição de modelos e propriedades que o já conhecido cálculo de ordem inteira. As derivadas fracionais fornecem um excelente instrumento para as descrições de propriedades hereditárias e de memória de diversos materiais e processos. Essa é a principal vantagem das derivadas fracionais quando comparadas com os clássicos modelos de integração habituais. No presente trabalho, estudamos o problema do oscilador harmônico simples em sua versão fracionária e mostramos que sua solução, para diferentes valores da derivada, refina a solução do oscilador harmônico amortecido, isto é, com a diminuição da ordem da derivada conseguimos recuperar o efeito de todos os atritos existentes em um sistema real. Oscilador Harmônico Fracionário Sabemos que a equação diferencial na qual m, k, m. são constantes positivas, é a equação diferencial que descreve o deslocamento (elongação) de um sistema massa-mola com massa m, sujeito a uma força do tipo Hooke, k, em um meio onde o coeficiente de atrito tem módulo m. Comportamento Gráfico Objetivo O principal motivo de solucionar Equações Diferencias consiste em obter uma previsibilidade melhor e mais detalhada das consequências do objeto que está sendo estudado. O cálculo fracionário tem parte de sua importância fundamentada nas derivadas de ordem não inteira, que refinam o procedimento e trazem uma melhor compreensão e modelagem de fenômenos naturais, sendo de grande auxílio e importância atualmente. Note que, a medida que diminuímos a ordem da derivada, aumentamos o amortecimento, o que mostra que mudando a ordem da derivada conseguimos incorporar, com grande precisão, os atritos do sistema. Derivada Fracionária Podemos definir, a integral de ordem n da seguinte forma: Figura 1: Comportamento gráfico da função Mostramos que o operador integral de ordem n, definido pela equação anterior, pode ser escrito como um integral simples (convolução de Laplace), da função f(t) com a função Gel’Fand-Shilov, , e desta forma definimos a integral fracionária como Bibliografia [1] W. E. Boyce and R. C. DiPrima, “Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno”, Oitava Edição, LTC, Rio de Janeiro, (2006). [2] R. F. Camargo, “Cálculo Fracionário e Aplicações”, tese de doutorado, IMECC UNICAMP, 2009. [3] E. C. de Oliveira and J. E. Maiorino, “Introdução aos métodos da Matemática aplicada”, Editora Unicamp. [4]  [6] H. Guidorizzi, “Um Curso de Cálculo”, Volume 2, 2001. Sabe-se que a derivada é o operador inverso à esquerda da integral, no entanto, não aplicável à todos os casos. Agradecimentos Neste espaço devemos agradecer o DAMAT pelo financiamento da impressão do poster e também os orgãos financiadores do trabalho. Neste espaço devemos agradecer o DAMAT pelo financiamento da impressão do pôster e também os orgão financiadores do trabalho. Para tanto, Caputo desenvolveu um estudo cuja derivada é o operador inverso à direita da integral, ou seja, sendo n – 1 < a < n, temos