Universidade Estadual de Campinas Faculdade de Engenharia Civil Departamento de Estruturas IC-908-L – TÓPICOS EM ENGENHARIA DE ESTRUTURAS VIII 2º LISTA DE EXERCÍCIOS Aluno: Engº Fábio Albino de Souza

1º Questão 1 -) Demonstrar a torção em uma seção retangular. Resposta: Torção em elementos prismáticos Consideramos a torção livre de um sólido prismático, elástico através de momentos no fim dos elementos equilibrando-os, como mostrado em Figo. 01. O eixo longitudinal do prisma coincide com o eixo-z de nosso RCS,(sistema de referência de coordenadas) e a superfície lateral do prisma é paralela ao eixo-z. A (constante) secção transversal do prisma é denotada pelo símbolo A,e o contorno é o C. Fig 01 – Torção em um prisma Para muitos problemas será vantajoso definir uma função analítica F(z) = Φ + iΨ de variável complexa z= x+iy onde É mostrado na teoria de funções analíticas de uma variável complexa que a realidade, conjugado funções Φ (função empenamento) e Ψ (função contorno) satisfaz equações de Cauchy-Riemann.

1º Questão 1 -) Demonstrar a torção em uma seção retangular. Continuação Resposta: e que ambos Φ e Ψ são funções harmônicas, que é: em A Para simplificar a condição de contorno no problema de torção, Ludwig Prandtl (1875-1953) propôs uma função de tensão tal que Em substituição em obtemos e olhando e em A em C onde k é uma constante

1º Questão 1 -) Demonstrar a torção em uma seção retangular. Continuação Resposta: Concluimos que: em C Para seções retangulares Para seções retangulares vamos buscar soluções dos problemas apartir de equações anteriores. Onde C é o retângulo como mostrado abaixo: em C

1º Questão 1 -) Demonstrar a torção em uma seção retangular. Continuação Resposta: Vamos começar com desenvolvimento da constante -2 dentro alcance da metade da série dos co-senos Fourier, que é: Agora, admitimos uma solução produto:

1º Questão 1 -) Demonstrar a torção em uma seção retangular. Continuação Resposta: Por substituição de e Dentro de , nós obtemos: E é mostrado com prazer que:

1º Questão 1 -) Demonstrar a torção em uma seção retangular. Continuação Resposta: Equação satisfaz a condição e devido a , isto requer que k=0. De acordo com , nós também requeremos ou se equivale a: Por substituição em nós obtemos

1º Questão 1 -) Demonstrar a torção em uma seção retangular. Continuação Resposta: E substituindo estas constantes em e resulta em: (veja->) Se nós empregamos a expansão do meio da série dos co-senos Fourier

1º Questão 1 -) Demonstrar a torção em uma seção retangular. Continuação Resposta: Então podemos escrever da seguinte forma: Com a ajuda de e

1º Questão 1 -) Demonstrar a torção em uma seção retangular. Continuação Resposta: Nós podemos obter as tensões de cisalhamento (cortantes) que são: E substituindo a nos campos da equação abaixo

1º Questão 1 -) Demonstrar a torção em uma seção retangular. Continuação Resposta: O momento de torção é: Não é difícil de mostrar que no presente caso Então que:

1º Questão 1 -) Demonstrar a torção em uma seção retangular. Continuação Resposta: A seguir nós assumimos que b ≥ a. Então a maior tensão cisalhamento acontecerá em (x,y)=(a,0). Usando nós podemos escrever Onde:

1º Questão 1 -) Demonstrar a torção em uma seção retangular. Continuação Resposta: Então podemos listar valores numéricos em uma Tabela (abaixo) para valores específicos de a/b. Isto é conveniente escrito na forma: Onde: Tabela de Constantes Seção Retangular (Torção)

Mapa de Contorno da Função Empenamento 1º Questão 1 -) Demonstrar a torção em uma seção retangular. Continuação Resposta: Em vista de e Nós podemos escrever: Valores numéricos de k1 e k2 estão disponíveis na Tabela de Constantes para uma relação de valores específicos de b/a. A figura ao lado mostra o mapa de contorno da função empenamento Ø (x,y) para a seção quadrada. Estes são obtidos com a ajuda da equação e a=b Mapa de Contorno da Função Empenamento Para seção quadrada

► Bibliografia Apostila Resistência dos Materiais – Prof. Nilson Tadeu Mascia Boresi, Arthur – Sidebotoom Omar M., –Advanced Mechanics of Materials , Fourth Edition , John Wiley & Sons Féodosiev, V.. –Resistência dos Materiais.- Edições Lopes da Silva, 1977 Heymann, Jacques. –Elements of stress analysis , Cambridge University Press. Notações de aula: Complementos Resistência dos Materiais – Prof. Nilson Tadeu Mascia Timoshenko, Goodier – Teoria da Elasticidade – 3º Edição - Ugural A. C, Fenster S.K. – Advanced Strength and Applied Elasticity, Second Edition Elsevier