AULA 2 Prof. Dr. Márcio A. Fiori -

TESTES F e V Testes F e V O teste básico para análise de variância é o teste z de R. A Fisher, hoje geralmente substituído pelos seus equivalentes F de G. W. Snedecor, ou V, de F. G. Brieger. Todos os testes comparam variâncias ou os respectivos desvios padrões. Se S12 e S2 são as estimativas das variâncias a comparar, então: e Logo: Prof. Dr. Márcio A. Fiori -

TESTES F e V Exemplo: Supondo a seguinte análise da variância de um experimento com 4 tratamentos e 6 repetições: Prof. Dr. Márcio A. Fiori - Causa de variaçãoG. L.S. Q.Q. M.Desvio Padrão Tratamentos332,6410,883,30 Resíduo2028,801,441,20 Total2361,44

TESTES F e V O teste F: F = 10,88/1,44 = 7,56 As tabelas de F dão o valor 3,10 para o nível de 5 % de probabilidade, e 4,94 para o nível de 1 %. Este resultado significa que há uma probabilidade de 95 % de obter, por simples acaso, um valor de F igual ou inferior 3,10 e há probabilidade de 5 % de obter os valores de F superiores a 3,10. Analogamente, é de 1 % a probabilidade de que o valor de F exceda 4,94 e é de 99 % a probabilidade de que o F não exceda a 4,94. No caso o valor de F excede a 4,94, excede o limite de 1 % e se diz significativo ao nível de 1 %. Isto significa que há uma probabilidade inferior a 1 % de que o valor de F observado tenha ocorrido pelo acaso. - Prof. Dr. Márcio A. Fiori -

TESTES F e V O teste V: V = 3,30/1,20 = 2,75 As tabelas de V dão o valor 1,76 com 5 % de probabilidade, e 2,22 para o nível de 1 % - Prof. Dr. Márcio A. Fiori -

TESTE t O teste t: O teste t pode ser usado para comparar médias. Para sua aplicação conscienciosa é necessário: 1)As comparações feitas pelo teste t devem ser escolhidas antes de serem examinados os dados; 2)Podem-se fazer no máximo tantas comparações quantos são os graus de liberdade para tratamentos, e os contrastes devem ser ortogonais - Prof. Dr. Márcio A. Fiori -

TESTE t O teste t: Contraste: São exemplos de contraste: Se m1, m2, m3 e m4 são as verdadeiras médias dos quatro tratamentos de um experimento, Y1 = m1 – m2 Y2 = m1 + m2 + m3 – 3m4 O que caracteriza um contraste é que se as médias que nele ocorrem são todas iguais, o contraste deve ser nulo. Com efeito, m1=m2=m3=m4 = M, temos: Y1 = M – M = 0 Y2 = M + M + M – 3M = 0 - Prof. Dr. Márcio A. Fiori -

TESTE t Para que isto ocorra a soma dos coeficientes deve ser nula. Considerando os contrastes: Y1 = m1 – m2 + 0.m3 = m1 – m2, Y2 = m1 + m2 – 2 m3. Os coeficientes do primeiro contraste são: 1-10 e os do segundo são: 11-2 Se multiplicarmos o primeiro coeficiente de Y1 pelo primeiro de Y2, e assim por diante, obteremos: 1-10 e a soma destes números é zero. Dizemos então que os contrastes Y1 e Y2 são ortogonais. Prof. Dr. Márcio A. Fiori -

TESTE t Num experimento com quatro médias m1, m2, m3, m4, há três graus de liberdade para tratamentos e podemos, então, obter três contrastes ortogonais, como os seguintes: Y1 = m1 – m2; Y2 = m1 + m2 – 2m3; Y3 = m1 + m2 + m3 – 3m4 Mas os seguintes também serviriam: Y1’ = 3m1 – 2m2 – m3 Y2’ = m2 – 2m3 + m4 Y3’ = 3m1 + 5m2 – m3 – 7m4 Prof. Dr. Márcio A. Fiori -

TESTE t Testes dos contrastes Y1, Y2 e Y3 se as médias forem m1 = 26,0, m2 = 24,8, m3 = 22,8 e m4 = 24,0. O primeiro contraste: Y1 = m1 – m2 Y1 = 26,0 – 24,8 = 1,2 Erro padrão: Dado um contraste Y = c1m1 + c2m cnmn, onde o primeiro termo tem r1 repetições, o segundo r2 repetições, e assim por diante, então a estimativa da variância de Y é V = (c12/r1 + c22/r cn2/rn).s2, onde s é o desvio padrão residual. Prof. Dr. Márcio A. Fiori -

TESTE t Como a variância é o quadrado do erro padrão, este será: e = raiz(V) Para Y1 temos c1 = 1 e c2 = -1 e os outros coeficientes são nulos. Se o número de repetições for seis para todos os tratamentos, teremos: V = (1/6 + 1/6).s2 = 1/3.s2 Se s = 1,20, com 20 graus de liberdade, então: e = raiz(1/3.s2) = 0,693 Testando o contraste pelo teste t. O que geralmente se procura é verificar se esse contraste difere de zero. Calcula-se: t = (Y – 0)/e = 1,20/0,693 = 1,73 Prof. Dr. Márcio A. Fiori -

TESTE t Com 20 graus de liberdade, os limites de t são: para o nível de 5 % o valor é 2,09 e para o limite de 1 % o valor é de 2,84. Como o valor de t não atinge o valor limite de 5 % diz-se que não é significativo e conclui-se que o contraste Y1 provavelmente não difere de zero. Assim, podemos aceitar a hipótese de nulidade, a hipótese de que m1 e m2 são iguais. Assim, os demais contrastes poderão ser avaliados Prof. Dr. Márcio A. Fiori -

TESTE DE TUKEY O teste de TUKEY é aplicado para comparar todo e qualquer contraste entre duas médias de tratamentos. O teste é exato e de uso muito simples quando o número de repetições é o mesmo para todos os tratamentos. Calcula-se o valor de delta = q. s/raiz(r), onde q é o valor da amplitude total estudentizada ao nível de 5 % ou de 1 % de probabilidade; s é a estimativa do desvio padrão residual, e r é o número de repetições. No caso tratado com n= 4 tratamentos e n’ = 20 graus de liberdade para o resíduo, e o valor de q ao nível de 5 % de 3,96. Então, Delta = 1,94 Prof. Dr. Márcio A. Fiori -

TESTE DE TUKEY Então, todo contraste entre duas médias, isto é, do tipo: Y = mi – um, Cuja estimativa exceder o valor de delta = 1,94 será significativo ao nível de 5 % de probabilidade. Tal acontece com a diferença entre a maior e a menor das médias encontradas. Exemplo: Y = m1 – m3 = 26,0 – 22,8 = 3,2 Se adotarmos o nível de 1 % de probabilidade, teremos: Delta = 2,46 E o contraste será ainda significativo neste nível. Prof. Dr. Márcio A. Fiori -

TESTE DE DUNCAN Prof. Dr. Márcio A. Fiori - O teste de Duncan se aplica para a comparação de médias, porém com mais detalhe que o teste de Tukey. Tal como o teste de Tukey o teste de Ducan exige, para ser exato, que todos os tratamentos tenham o mesmo número de repetições. Para o uso do teste necessitamos tabelas especiais, uma para o nível de 5 % de probabilidade e outra para 1 % Considerando o exemplo anterior: D = z. s/raiz(r), onde r é o número de repetições, s é o desvio padrão e z (“shortest significant range) tirado das tabelas.

TESTE DE DUNCAN Prof. Dr. Márcio A. Fiori - Para avaliação entre a menor e maior média o número de 4 médias ordenadas: D4 = 3,18. 1,20/raiz(6) = 1,56 Para comparar a segunda colocada, logo abaixo da maior, com a menor de todas, teremos o contraste que abrange 3 médias: D3 = 3,120.1,20/raiz(6) = 1,52 Para comparar entre a maior média e a penúltima média: D2 = 2,95.1,20/raiz(6) = 1,45

TESTE DE DUNCAN Prof. Dr. Márcio A. Fiori - Assim, m1 não é significativamente diferente de m2, pois m1 – m2 = 1,2 e não excede a 1,45 Porém, m1 é significativamente superior a m4, pois m1 – m4 = 3,2, que excede D4 = 1,56 Ainda, m1 é significativamente superior a m3, pois m1 – m3 = 2,0, que excede D3 = 1,52

Exercício de sala Prof. Dr. Márcio A. Fiori - Sendo s= 10, com 20 graus de liberdade, r = 6, considerando as médias: m1 = 32,8, m2 = 32,6, m3 = 20,4, m4 = 20,1 e m5 = 20,0 Fazer as avaliações de Duncan.