Modelos de distribuições discretas de probabilidade

Introdução: Existem variáveis aleatórias que têm uma função de distribuição pertencente a uma classe de distribuições teóricas. As distribuições teóricas, como o próprio nome indica, foram submetidas a estudos prévios e têm propriedades conhecidas; portanto, podem servir como modelo em determinadas situações em que a distribuição esteja identificada, poupando tempo na análise do problema estudado.

DISTRIBUIÇÃO DE BERNOULLI Suponhamos a realização de um experimento , cujo resultado pode ser um sucesso (se acontecer o evento que nos interessa) ou um fracasso (o evento não se realiza). Seja a variável aleatória: sucesso ou fracasso. x

X → X1 = 1 (sucesso) ou X2 = 0 (fracasso) P(x) → p(X1) = p p(X2) = 1 – p = q Diz-se que esta variável, assim definida, tem uma distribuição de "Bernoulli".

Prova de Bernoulli Principais características:

Sucessão de provas de Bernoulli: Defini-se como o processo caracterizado por repetidas provas que têm lugar nas seguintes condições: Cada prova resultem em somente dois resultados possíveis, designados como “sucesso” e “falha”. A probabilidade de um sucesso em cada prova, designada por p, permaneça constante. A probabilidade de falha designa-se por q = 1− p.

3- As provas sejam independentes, isto é, os resultados obtidos numa sequência de provas não influenciam os resultados da(s) provas(s) subsequente(s).

Distribuição Binomial Trata-se de uma distribuição de probabilidade adequada aos experimentos que apresentam apenas dois resultados (sucesso ou fracasso). Este modelo fundamenta-se nas seguintes hipóteses: H1. provas independentes e do mesmo tipo são realizadas; n

Considerando-se uma sucessão de n provas de Bernoulli, a variável aleatória que representa o número de sucessos obtidos nessas n provas de Bernoulli tem distribuição binomial. A variável aleatória X, que é igual ao número de provas que resultam em um sucesso, tem uma distribuição binomial com parâmetros p e n em que 0 < p < 1 e n = {1, 2, 3, ..., n}.

A função de probabilidade de X é:

Distribuição Binomial Principais características: De acordo com as hipóteses, observa-se que X é a soma de n variáveis do tipo “Bernoulli”, daí :

Exemplo: Cada amostra de ar tem 10% de chance de conter uma certa molécula rara. Considere que as amostras sejam independentes em relação à presença da molécula rara. Encontre a probabilidade de que, nas próximas 18 amostras, exatamente 2 contenham a molécula rara.

Seja X = número de amostras de ar que contenham a molécula rara nas próximas amostras analisadas (sucessos); então, X é a variável aleatória binomial com p = 0,1 e n = 18. Assim,

Exercício 1: Em uma maternidade, depois de muitas pesquisas a probabilidade de nascer meninas é de 52% e de nascer meninos é de 48%. Calcule a probabilidade de nascer pelo menos 4 meninos nos próximos 5 nascimentos.

Exercício 2: Uma moeda não viciada é lançada oito vezes. Encontre a probabilidade de: A) dar 5 caras. B) pelo menos uma cara C) no máximo duas caras. D) calcular a média e a variância da distribuição.

Exercício 3: Uma técnica cirúrgica é aplicada em sete pacientes. Você soube que há 70% de chance de sucesso. Encontre a probabilidade de que a cirurgia seja um sucesso para: A) exatamente cinco pacientes B) no mínimo cinco pacientes C) menos que cinco pacientes