ENGENHARÍA DE PRODUÇÃO CÁLCULO 1 LIMITES ENGENHARÍA DE PRODUÇÃO Disciplina: Cálculo 1 Engenharia de Produção Professor: Jerry adriane

CÁLCULO 1 LIMITES: NOÇÕES INTUITIVA; DEFINIÇÃO; LIMITES LATERAIS CONTINUIDADE. Disciplina: Cálculo 1 Engenharia de Produção Professor: Jerry adriane

Noção Intuitiva Sucessões numéricas x  +  1, 2, 3, 4, 5, .... x  1 Dizemos que: 1, 2, 3, 4, 5, .... Os termos tornam-se cada vez maiores, sem atingir um limite x  +  Os números aproximam-se cada vez mais de 1, sem nunca atingir esse valor x  1 1, 0, -1, -2, -3, ... Os termos tornam-se cada vez menor, sem atingir um limite x  -  Os termos oscilam sem tender a um limite Disciplina: Cálculo 1 Engenharia de Produção Professor: Jerry adriane

Definição de Limites Seja f(x) definida em um intervalo aberto em torno de “a” (um número real), exceto talvez em a. c a d Dizemos que f(x) tem limite L quando x tende a “a” e escrevemos: lim [f(x)] = L x a Disciplina: Cálculo 1 Engenharia de Produção Professor: Jerry adriane

Figura 1: Um intervalo aberto de raio 3 em torno de x0 = 5 estará dentro do intervalo aberto (2, 8). Disciplina: Cálculo 1 Engenharia de Produção Professor: Jerry adriane

I x – a I <   I ƒ(x) - L I < . Definição de Limite y L +  L L -  0 a -  a a +  x O limite de uma função y = ƒ(x), quando x tende a “a“, a  R, indicado por lim ƒ(x) é a constante real“L“, se para qualquer  (épsilon),   R,   0, por menor que seja, existir  (delta),   R,  > 0, tal que: I x – a I <   I ƒ(x) - L I < . Disciplina: Cálculo 1 Engenharia de Produção Professor: Jerry adriane

Limites Seja y = f(x) = 2x + 1 Aproximação à direita Aproximação à esquerda x y 1,5 4 1,3 3,6 1,1 3,2 1,05 3,1 1,02 3,04 1,01 3,02 x y 0,5 2 0,7 2,4 0,9 2,8 0,95 2,9 0,98 2,96 0,99 2,98 Disciplina: Cálculo 1 Engenharia de Produção Professor: Jerry adriane

Limites Disciplina: Cálculo 1 Engenharia de Produção Professor: Jerry adriane

Limites Nota-se que quando x tende para 1, pelos dois lados, ao mesmo tempo, y tende para 3, ou seja, (x 1) implica em (y 3). Assim, diz-se que: Neste caso o limite é igual ao valor da função. f(x) = f(1) = 3 Disciplina: Cálculo 1 Engenharia de Produção Professor: Jerry adriane

Limites No caso da função f(x) = é diferente pois f(x) não é definida para x = 1. Porém o limite existe e é igual 3. Ver gráfico a seguir: Disciplina: Cálculo 1 Engenharia de Produção Professor: Jerry adriane Disciplina: Cálculo 1 Engenharia de Produção Professor: Jerry adriane

Direita x y 2 0,5 2,5 0,7 2,7 0,9 2,9 0,99 2,99 0,999 2,999 Esquerda x Y 1,9 3,9 1,7 3,7 1,5 3,5 1,3 3,3 1,1 3,1 1,01 3,01 Disciplina: Cálculo 1 Engenharia de Produção Professor: Jerry adriane

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Limites Disciplina: Cálculo 1 Engenharia de Produção Professor: Jerry adriane

Limites Laterais Quando faz-se x tender para a, por valores menores que a, está-se calculando o limite lateral esquerdo. x a - Quando faz-se x tender para a, por valores maiores que a, está-se calculando o limite lateral direito. x a + Para o limite existir, os limites laterais devem ser iguais: [f(x)] = [f(x)] Disciplina: Cálculo 1 Engenharia de Produção Professor: Jerry adriane

Dada a função f: IR  IR, definida por f(x) = x + 3. Estudemos o comportamento da função f(x) quando x estiver próximo de 1, mas não for igual a 1. Pela direita Pela esquerda y x f(x) = x + 3 2 5 1,5 4,5 1,25 4,25 1,1 4,1 1,01 4,01 1,001 4,001 1,0001 4,0001 x f(x) = x + 3 3 0,25 3,25 0,75 3,75 0,9 3,9 0,99 3,99 0,999 3,999 4 1 x Disciplina: Cálculo 1 Engenharia de Produção Professor: Jerry adriane

Dada a função f: IR  IR, definida por Determinar, graficamente, 4 2 1 Não existe limite de f(x), quando x tende para 1 Disciplina: Cálculo 1 Engenharia de Produção Professor: Jerry adriane

Noção Intuitiva de Limite “O limite da função f(x) = x2 quando x tende a 2 é 4”. Disciplina: Cálculo 1 Engenharia de Produção Professor: Jerry adriane

EXERCÍCIO 1 O que ocorre com f(x) próximo de x = 1? y 2 1 1 x 5 Lim f(x) não existe x 1 Disciplina: Cálculo 1 Engenharia de Produção Professor: Jerry adriane

EXERCÍCIO 2 O que ocorre com f(x) quando x = 1? Lim f(x) = L = 2 y 3 2 5 x Lim f(x) = L = 2 x 1 Disciplina: Cálculo 1 Engenharia de Produção Professor: Jerry adriane

EXERCÍCIO 3 O que ocorre com f(x) quando x = 1? y 2 1 1 5 x Lim f(x) sim existe, mas não coincide com f(1) X 1 Disciplina: Cálculo 1 Engenharia de Produção Professor: Jerry adriane

Continuidade de uma função em um intervalo aberto Uma função f é contínua em um intervalo aberto se for contínua em todos os pontos desse intervalo. Uma função é continua no ponto x = a se, e somente se, as seguintes condições forem satisfeitas: i – existe f(a) ii – existe lim f(x) (devem existir e ser iguais os limites laterais a esquerda e à direita) iii – lim f(x) = f(a) Obs: Quando uma (ou mais) dessas condições não é satisfeita para x = a, dizemos que a função é descontínua em a . Disciplina: Cálculo 1 Engenharia de Produção Professor: Jerry adriane

Nenhuma destas funções é contínua em x = xo. Continuidade Continuidade de uma função em um número Uma função f é contínua em um número x0 se Nenhuma destas funções é contínua em x = xo. a) b) c) Disciplina: Cálculo 1 Engenharia de Produção Professor: Jerry adriane