MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

Apresentação em tema: "MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS"— Transcrição da apresentação:

1 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
Ensino Médio, 3º ano Equações Polinomiais

2 “A diferença entre o cubo de um número real e o seu quadrado é igual à soma do triplo do quadrado desse número com 25. Qual é esse número?”,

3 EQUAÇÕES POLINOMIAIS Denominamos equações polinomiais ou algébricas, às equações da forma: P(x) = 0, onde P(x) é um polinômio de grau n > 0. As raízes da equação algébrica, são as mesmas do polinômio P(x). O grau do polinômio, será também o grau da equação. Exemplos: x4 + 9x2–10x + 3 = 0 x10 + 6x2 + 9 = 0 Para resolver estas equações é preciso encontrar as raízes do polinômio. As raízes de um polinômio podem ser reais e/ou complexas.

4 TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA (T.F.A.)
Toda equação algébrica de variável complexa e grau n, com n ≥ 1, admite pelo menos uma raiz complexa (real ou imaginária). A equação 2x – 6 = 0 admite a raiz real 3. a equação x2 + 4 = 0 admite as raízes imaginárias 2i e –2i. A equação x4 – 81 = 0 admite a raiz real 3 e a raiz imaginária –3i, entre outras.

5 FATORAÇÃO DE UM POLINÔMIO
Uma consequência imediata do T.F.A. é o teorema a seguir. Toda equação algébrica de variável complexa e grau n, com n ≥ 1, admite exatamente n raízes complexas (reais ou imaginárias). Portanto, uma equação tem sempre tantas raízes quanto for o seu grau.

6 DEMONSTRAÇÃO Suponhamos a equação p(x) = 0, em que o polinômio p(x), de variável complexa e grau n ≥ 1, é dado pela seguinte expressão, com a0 ≠ 0. p(x) = a0xn + a1xn–1 + a2xn– an–1x + an Vamos provar que p(x) admite n raízes complexas.

7 DEMONSTRAÇÃO Pelo T.F.A., p(x) admite uma raiz complexa k1.
p(k1) = 0 e que p(x) é divisível por (x – k1). ⇒ p(x) = (x – k1).q1(x) (1) Pelo T.F.A., q1(x) admite uma raiz complexa k2. q1(k2) = 0 e que q1(x) é divisível por (x – k2). ⇒ q1(x) = (x – k2).q2(x) (2) Substituindo (2) em (1), concluímos que ⇒ p(x) = (x – k1).(x – k2).q2(x)

8 DEMONSTRAÇÃO Aplicando esse raciocínio n vezes, o último quociente, de grau zero, é justamente o coeficiente dominante a0. Concluímos que: p(x) = a0.(x – k1).(x – k2).(x – k3). ... (x – kn) O polinômio tem exatamente n raízes complexas k1, k2, k3, ... kn reais ou imaginárias; Pode ser decomposto no produto de seu coeficiente dominante por n fatores de 1º grau do tipo (x – ki), em que ki, representa cada uma das raízes do polinômio.

9 EXEMPLO 1 Mostrar pelo dispositivo de Briot-Ruffini que 1, –1 e –2 são as raízes de p(x) = 2x3 + 4x2 – 2x – 4 e escrever p(x) na forma fatorada. 2 4 – 2 – 4 1 2 6 4 –1 2 4 –2 2 p(x) = (x – 1).(2x2 + 6x + 4) = (x – 1).(x + 1).(2x + 4) p(x) = 2.(x – 1).(x + 1).(x + 2)

10 EXEMPLO 2 Quais são os graus das equações (x – 1)2 = 0, (x – 1)5 = 0. A partir do grau, quantas raízes complexas tem cada uma delas? Quais são as raízes, em cada caso? (x – 1)2 = 0 é de 2º grau. (x – 1)2 = (x – 1).(x – 1) = 0 ⇒ a equação admite duas raízes iguais a 1. (x – 1)5 = 0 é de 5º grau. (x – 1)5 = (x – 1).(x – 1).(x – 1).(x – 1).(x – 1) = 0 ⇒ a equação admite cinco raízes iguais a 1.

11 EXEMPLO 3 Escrever o polinômio p(x) = (x2 – 3x)(x2 – 9) como produto de fatores de 1º grau e identificar seu grau e suas raízes. Fatorando as expressões entre parênteses, p(x) =(x2 – 3x)(x2 – 9) = x(x – 3)(x + 3)(x – 3) O polinômio é de 4º grau e suas raízes são os valores que anulam cada um dos seus quatro fatores: x = 0 ou x – 3 = 0 ou x + 3 = 0 ou x – 3 = 0 ⇒ x = 0 ou x = 3 ou x = –3 ou x = 3 ⇒ raízes são 0, 3 , –3 e 3.

12 EXEMPLO 4 Construir o polinômio p(x) de 3o grau, coeficiente dominante –1 e raízes 2, –1 e 3. Coeficiente dominante a0 = –1 e raízes k1 = 2, k2 = –1 e k3 = 3 p(x) = a0.(x – k1).(x – k2).(x – k3) ⇒ p(x) = –1(x – 2)(x + 1)(x – 3) ⇒ p(x) = –1(x – 2)(x2 – 3x + x – 3) ⇒ p(x) = –1(x – 2)(x2 – 2x – 3) = –1(x3 – 2x2 – 3x – 2x2 + 4x + 6) ⇒ p(x) = –x3 + 4x2 – x – 6

13 EXEMPLO 5 Fatorar o polinômio p(x) = x2 – 5x + 6.
Primeiro vamos resolver a equação x2 – 5x + 6 = 0 a partir da fórmula de Baskhara. As raízes são x’ = 2 e x” = 3 e o coeficiente dominante de p(x) é 1. p(x) = a0.(x – k1).(x – k2) ⇒ p(x) = 1.(x – 2)(x – 3) ⇒ p(x) = (x – 2)(x – 3)

14 EXEMPLO 6 Mostrar que p(x) = x3 – x2 – 5x – 3 é divisível por x – 3. Em seguida, escrever p(x) como produto de fatores de 1º grau e identificar suas raízes. Pelo dispositivo de Briot-Ruffini, vamos dividir p(x) por x – 3. 1 – 1 – 5 – 3 3 1 2 1 ⇒ p(x) = (x – 3)(x2 + 2x + 1) = (x – 3)(x + 1)2 ⇒ p(x) = (x – 3)(x + 1)(x + 1) ⇒ raízes de p(x) são 3 , –1 e –1.

15 MULTIPLICIDADE DE UMA RAIZ
Observe o seguinte polinômio p(x) = 8(x + 4)(x – 7)(x – 5)(x + 4)(x – 7)(x + 4) p(x) é o produto de uma constante (8) por 6 fatores de 1º grau. Ele é de 6º grau. Suas raízes são –4, 7, 5, –4, 7 e –4. –4 é raiz tripla ou de multiplicidade três; 7 é raiz dupla ou de multiplicidade dois; 5 é raiz simples ou de multiplicidade um. p(x) = 8(x + 4)3(x – 7)2(x – 5)

16 EXEMPLO 1 Em p(x) = –3(x + 1)6(x – 3)2(3x + 2), indicar as raízes e a multiplicidade de cada uma delas. (x + 1)6 = 0 ⇒ raiz –1 (multiplicidade 6) (x – 3)2 = 0 ⇒ raiz 3 (multiplicidade 2) 3x + 2 = 0 ⇒ raiz –2/3 (multiplicidade 1)

17 RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES ALGÉBRICAS
No ensino fundamental, aprendemos métodos algébricos simples para resolução de equações de 1º e 2º graus. A resolução de equações de 3º grau ou grau superior, no entanto, é mais complicada. Em geral, são necessárias informações adicionais que permitem a obtenção de suas raízes. Existem algumas regras especiais que ajudam a identificar raízes inteiras ou racionais de uma equação.

18 EXEMPLO 2 Escrever p(x) na forma fatorada, temos
O polinômio p(x) = –x3 + x2 + ax + b admite –1 como raiz dupla. Obter os valores das constantes a e b, bem como a outra raiz real de p(x). Escrever p(x) na forma fatorada, temos p(x) = –1(x + 1)2(x – k) = –1(x2 + 2x + 1)(x – k) = (–x2 – 2x – 1)(x – k) = –x3 + kx2 – 2x2 +2kx – x + k = –x3 + (k – 2)x2 + (2k – 1)x + k k – 2 = 1 ⇒ k = 3 2k – 1 = a ⇒ 6 – 1 = a ⇒ a = 5 k = b ⇒ b = 3

19 EXEMPLO 3 Dado o polinômio p(x) = x5 – 6x4 + 13x3 – 14x2 + 12x – 8. Identificar a multiplicidade da raiz 2. Vamos utilizar o dispositivo de Briot-Ruffini para isso. 1 –6 13 –14 12 –8 2 1 –4 5 –4 4 2 1 –2 1 –2 2 1 1 2 1 2 5 Obtivemos resto zero nas três primeiras divisões ⇒ 2 é raiz tripla.

20 REGRA 1 Se uma equação algébrica de coeficientes inteiros admite uma raiz inteira e não-nula, essa raiz é um divisor (positivo ou negativo) do termo independente.

21 EXEMPLO Identificar as raízes inteiras da equação 2x3 – 5x2 – 4x + 3 = 0. As possíveis raízes inteiras da equação são 1, –1, 3 e –3, divisores do termo independente. p(1) = 2 – 5 – = –4 (soma dos coeficientes) p(–1) = 2(–1)3 – 5(–1)2 – 4(–1) + 3 = –2 – = 0 p(3) = 2(3)3 – 5(3)2 – 4(3) + 3 = 54 – 45 – = 0 p(–3) = 2(–3)3 – 5(–3)2 – 4(–3) + 3 = 54 – = –84 As únicas raízes inteiras da equação são –1 e 3.

22 REGRA 2 Se uma equação algébrica de coeficientes inteiros admite uma raiz racional não-nula p/q, com p e q inteiros e primos entre si, então p é divisor do termo independente e q é divisor do coeficiente dominante da equação.

23 EXEMPLO Encontrar todas as raízes racionais da equação 2x4 + 5x3 + 3x2 + x – 2 = 0. As possíveis raízes racionais são do tipo p/q, p e q inteiros, sendo que p é divisor do termo independente –2 ⇒ p = –1 ou p = 1 ou p = –2 ou p = 2 q é divisor do coeficiente dominante 2 ⇒ q = –1 ou q = 1 ou q = –2 ou q = 2 Fazendo todas as combinações possíveis desses valores, p/q ∊ {1, –1, 2, –2, 1/2, –1/2}.

24 EXEMPLO Encontrar todas as raízes racionais da equação 2x4 + 5x3 + 3x2 + x – 2 = 0. p(1) = – 2 = 9 (soma dos coeficientes) p(–1) = 2(–1)4 + 5(–1)3 + 3(–1)2 + (–1) – 2 = –3 p(2) = 2(2)4 + 5(2)3 + 3(2)2 + 2 – 2 = 84 p(–2) = 2(–2)4 + 5(–2)3 + 3(–2)2 + (–2) – 2 = 0 p(1/2) = 2(1/2)4 + 5(1/2)3 + 3(1/2)2 + (1/2) – 2 = 0 p(–½) = 2(–½)4 + 5(–½)3 + 3(–½)2 + (–½) – 2 = –9/4 As únicas raízes racionais da equação são –2 e 1/2.

25 REGRA 3 Se uma equação algébrica de coeficientes reais admite como raiz o número z = a + bi, então ela admite também, como raiz, o número imaginário z = a – bi, conjugado de z, com a mesma multiplicidade. Isso significa que as raízes imaginárias de uma equação algébrica de coeficientes reais aparecem aos pares. No caso, o total de raízes imaginárias da equação só pode ser par: 0, 2, 4, 6, ...

26 EXEMPLO 1 Construir o polinômio de 2º grau, de coeficientes reais e coeficiente dominante –1, sabendo que uma de suas raízes é 2 – 3i. O polinômio tem coef. reais. Se 2 – 3i é raiz, o seu conjugado, 2 + 3i também é. p(x) = a0.(x – k1).(x – k2) p(x) = –1.[x – (2 – 3i)].[x – (2 + 3i)] p(x) = –1.(x – 2 + 3i).(x – 2 – 3i) p(x) = –1.(x – 2)2 – 9i2) = –1.(x2 – 4x ) p(x) = –x2 +4x + 9

27 EXEMPLO 2 Um polinômio de coeficientes reais admite a raiz simples 5, a raiz dupla 2 – i e a raiz tripla –3. Qual é o menor grau possível do polinômio? Se 2 – i é raiz dupla, seu conjugado 2 + i também é raiz dupla. 5 (raiz simples) ⇒ 1 raiz; 2 – i (raiz dupla) ⇒ 2 raízes; 2 + i (raiz dupla) ⇒ 2 raízes; –3 (raiz simples) ⇒ 3 raízes; Se o polinômio tem pelo menos essas 8 raízes, ele é de 8º grau, no mínimo.

28 RELAÇÕES DE GIRARD Em 1629, o matemático Albert Girard publicava em obra intitulada Invention nouvelle em l’algébre. Nela, mostrava relações importante envolvendo raízes e coeficientes de uma equação algébrica. Elas são conhecidas, por isso, como relações de Girar.

29 EXEMPLO Em 3x2 – 5x – 2 = 0, a0 = 3, a1 = –5 e a2 = –2 a1 5
Soma das raízes: x1 + x2 = – = a0 3 a2 –2 produto das raízes: x1 + x2 = = a0 3

30 RELAÇÕES NA EQUAÇÃO DE 2º GRAU
A forma geral de uma equação de 2º grau é a0x2 + a1x + a2 = 0, com a0 ≠ 0. Se x1 e x2 são suas raízes complexas, podemos escrever: a0x2 + a1x + a2 = a0.(x – x1).(x – x2) (: a0) a1 a2 x2 + x + = (x – x1).(x – x2) = x2 – x2x – x1x + x1x2 a0 a0 a1 a2 x2 + x + = x2 – (x1 + x2)x + x1x2 a0 a0 a1 a2 = – (x1 + x2) = x1x2 a0 a0

31 RELAÇÕES NA EQUAÇÃO DE 2º GRAU
Chegamos às relações que fornecem a soma e o produto das raízes da equação de 2º grau, em função de seus coeficientes. x1 + x2 = – a1 a0 a2 e x1x2 =

32 RELAÇÕES NA EQUAÇÃO DE 3º GRAU
A forma geral da equação de 3º grau, é a0x3 +a1x2 + a2x + a3 = 0, com a0 ≠ 0. Suponhamos que x1, x2 e x3 sejam as suas raízes. As relações de Girard, nesse caso, fica assim: x1 + x2 + x3 = – a1 a0 a2 x1x2 + x1x3 + x2x3 = x1x2x3 = – a3

33 QUESTÕES 1º) Obter a soma, o produto e a soma dos inversos das raízes da equação 2x3 + 4x2 + 9x – 6 = 0. 2º) Achar as raízes da equação x3 – 3x2 + 4 = 0, sabendo que uma é dupla. 3º) Resolver a equação 2x3 – 3x2 – 3x + 2 = 0, sabendo que uma é o inverso da outra.

34 EXTRAS GEOGEBRA Utilizar o software geogebra para a representação gráfica de equações polinomiais ou algébricas. Este programa é de uso livre e pode ser obtido no endereço:

35 REFERÊNCIAS Sites: Livros:
Livros: I. Silva, Cláudio Xavier da. II. Filho, Benigno Barreto. Matemática aula por aula, 3: ensino médio – São Paulo : FTD, 2009. Dante, Luiz Roberto. Matemática : volume único - Ática. São Paulo : Ática, I. Iezzi,Gelson. II. Dolce, Osvaldo. III. Degenszajn, David. IV. Périgo, Roberto. Matemática : volume único – São Paulo : Atual, 2002.