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Polinômios Profª.: Juliana Santos. Definição Seja o conjunto dos números complexos (números da forma a + bi, onde a e b são números reais e i é a unidade.

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1 Polinômios Profª.: Juliana Santos

2 Definição Seja o conjunto dos números complexos (números da forma a + bi, onde a e b são números reais e i é a unidade imaginária tal que i 2 = -1). Seja o conjunto dos números complexos (números da forma a + bi, onde a e b são números reais e i é a unidade imaginária tal que i 2 = -1). Entende-se por polinômio em a função: Entende-se por polinômio em a função: P(x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + a 2 x n a n-1 x + a n onde os números complexos a 0, a 1,..., a n são os coeficientes, n é um número natural denominado grau do polinômio e x é a variável do polinômio.

3 Exemplo P(x) = x 5 + 3x 2 - 7x + 6 (a 0 = 1, a 1 = 0, a 2 = 0, a 3 = 3, a 4 = -7 e a 5 = 6) P(x) = x 5 + 3x 2 - 7x + 6 (a 0 = 1, a 1 = 0, a 2 = 0, a 3 = 3, a 4 = -7 e a 5 = 6) O grau de P(x) é igual a 5. Nota: Os polinômios recebem nomes particulares, a saber: Nota: Os polinômios recebem nomes particulares, a saber: a. Binômio: possuem dois termos. Exemplo: r(x) = 3x + 1 (grau 1). b. Trinômio: possuem 3 termos. Exemplo: q(x) = 4x 2 + x - 1 (grau 2). c. A partir de 4 termos, recorre-se à designação genérica: polinômios.

4 Valor numérico – Raiz do polinômio Sendo m um número complexo (lembre-se que todo número real é também um número complexo), denominamos valor numérico de um polinômio P(x) para x = m, ao valor P(m) ou seja o valor que obtemos substituindo x por m. Sendo m um número complexo (lembre-se que todo número real é também um número complexo), denominamos valor numérico de um polinômio P(x) para x = m, ao valor P(m) ou seja o valor que obtemos substituindo x por m. Exemplo: Qual o valor numérico do polinômio p(x) = x 3 - 5x + 2 para x = -1? Teremos, substituindo a variável x por x = -1 que: p(-1) = (-1) 3 - 5(-1) + 2 = = 6. Logo, p(-1) = 6.

5 Raiz (ou zero) de um polinômio Raiz (ou zero) de um polinômio O número complexo m é raiz ou zero do polinômio P(x) quando P(m) = 0. Exemplo 1 : i é raiz do polinômio p(x) = x 2 + 1, pois p(i) = 0. Lembre-se que i 2 = -1, ou seja, o quadrado da unidade imaginária é igual a -1. Exemplo 2 : O número natural 2 é raiz do polinômio p(x) = x 3 - 2x 2 - x + 2, pois p(2) = 0.

6 Igualdade de polinômios Vamos estabelecer o que são dois polinômios iguais e como se pode constatar a igualdade de dois polinômios examinando apenas seus coeficientes. Polinômio identicamente nulo (ou simplesmente polinômio nulo) é aquele cujo valor numérico é igual a zero para todo valor da variável x. Indicamos P º 0 (polinômio nulo). Para um polinômio P(x) ser um polinômio nulo é necessário e suficiente que todos os seus coeficientes sejam nulos (iguais a zero). Polinômio identicamente nulo (ou simplesmente polinômio nulo) é aquele cujo valor numérico é igual a zero para todo valor da variável x. Indicamos P º 0 (polinômio nulo). Para um polinômio P(x) ser um polinômio nulo é necessário e suficiente que todos os seus coeficientes sejam nulos (iguais a zero). Polinômios idênticos são polinômios iguais. Se P e Q são polinômios idênticos, escrevemos P º Q. É óbvio que se dois polinômios são idênticos, então os seus coeficientes dos termos correspondentes são iguais. A expressão P º Q é denominada identidade. Polinômios idênticos são polinômios iguais. Se P e Q são polinômios idênticos, escrevemos P º Q. É óbvio que se dois polinômios são idênticos, então os seus coeficientes dos termos correspondentes são iguais. A expressão P º Q é denominada identidade.

7 Grau do polinômio Em um polinômio, o termo de mais alto grau que possui um coeficiente não nulo é chamado termo dominante e o coeficiente deste termo é o coeficiente do termo dominante. O grau de um polinômio p=p(x) não nulo, é o expoente de seu termo dominante, que aqui será denotado por (p). Em um polinômio, o termo de mais alto grau que possui um coeficiente não nulo é chamado termo dominante e o coeficiente deste termo é o coeficiente do termo dominante. O grau de um polinômio p=p(x) não nulo, é o expoente de seu termo dominante, que aqui será denotado por (p). Acerca do grau de um polinômio, existem várias observações importantes: Acerca do grau de um polinômio, existem várias observações importantes: a. Um polinômio nulo não tem grau, uma vez que não possui termo dominante. Em estudos mais avançados, define-se o grau de um polinômio nulo, mas não o faremos aqui.

8 b. Se o coeficiente do termo dominante de um polinômio for igual a 1, o polinômio será chamado polinômio unitário. c. Um polinômio pode ser ordenado segundo as suas potências em ordem crescente ou decrescente. d. Quando existir um ou mais coeficientes nulos, o polinômio será dito incompleto. e. Se o grau de um polinômio incompleto for n, o número de termos deste polinômio será menor do que n+1. f. Um polinômio será completo quando possuir todas as potências consecutivas desde o grau mais alto até o termo constante. g. Se o grau de um polinômio completo for n, o número de termos deste polinômio será exatamente n+1. É comum usar apenas uma letra p para representar a função polinomial p = p(x) e P[x] o conjunto de todos os polinômios reais em x. É comum usar apenas uma letra p para representar a função polinomial p = p(x) e P[x] o conjunto de todos os polinômios reais em x.

9 Operações – Adição e Subtração Dados dois polinômios Dados dois polinômios f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x² + a 3 x³ a n x n g(x) = b 0 + b 1 x + b 2 x² + b 3 x³ b n x n chama-se soma de f com g o polinômio (f + g)(x) = (a 0 + b 0 ) + (a 1 + b 1 )x + (a 2 + b 2 )x² (a n + b n )x n Tendo em vista o teorema anterior e, considerando os mesmos polinômios acima, definimos diferença entre f e g como o polinômio f - g = f + (- g), isto é: Tendo em vista o teorema anterior e, considerando os mesmos polinômios acima, definimos diferença entre f e g como o polinômio f - g = f + (- g), isto é: (f - g)(x) = (a 0 - b 0 ) + (a 1 - b 1 )x + (a 2 - b 2 )x² (a n - b n )x n

10 Exemplos Exemplo SOMA : Somar f(x) = 4 + 3x + x² e g(x) = 5 + 3x² + x 4. Temos: Temos: f(x) = 4 + 3x + x² + 0x³ + 0x 4 f(x) = 4 + 3x + x² + 0x³ + 0x 4 g(x) = 5 + 0x + 3x² + 0x³ + x 4 g(x) = 5 + 0x + 3x² + 0x³ + x 4então: (f+g)(x) = (4+5) + (3+0)x + (1+3)x² + (0+0)x³ + (0+1)x 4 = (f+g)(x) = (4+5) + (3+0)x + (1+3)x² + (0+0)x³ + (0+1)x 4 = = 9 + 3x + 4x² + x 4. = 9 + 3x + 4x² + x 4. Exemplo SUBTRAÇÃO : Subtrair p(x) = 3x² - 4x + 1 por q(x) = 5x² - 3x + 4. Temos: Temos: (p – q)(x) = 3x² - 4x [– (5x² - 3x + 4)] = - 2x² - x – 3. (p – q)(x) = 3x² - 4x [– (5x² - 3x + 4)] = - 2x² - x – 3.

11 Propriedades da Adição A operação de adição define em P, conjunto dos polinômios de coeficientes complexos, uma estrutura de grupo comutativo, isto é, verifica as seguintes propriedades: A operação de adição define em P, conjunto dos polinômios de coeficientes complexos, uma estrutura de grupo comutativo, isto é, verifica as seguintes propriedades: a. ASSOCIATIVA. Quaisquer que sejam p, q, r em P[x], tem-se que: (p + q) + r = p + (q + r) b. COMUTATIVA. Quaisquer que sejam p, q em P[x], tem-se que: p + q = q + p c. ELEMENTO NEUTRO. Existe um polinômio p 0 (x)=0 tal que: p 0 + p = p, ¥ p P d. INVERSO ADITIVO. Para cada p em P[x], existe outro polinômio q=-p em P[x] tal que: p + q = 0

12 Operações – Multiplicação Dados dois polinômios Dados dois polinômios f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x² + a 3 x³ a m x m g(x) = b 0 + b 1 x + b 2 x² + b 3 x³ b n x n chama-se produto fg o polinômio (fg)(x) = a 0 b 0 + (a 0 b 1 + a 1 b 0 )x + (a 2 b 0 + a 1 b 1 + a 0 b 2 )x² a m b n x m+n Notemos que o produto fg é o polinômio Notemos que o produto fg é o polinômio h(x)= c 0 + c 1 x + c 2 x c m+n x m+n

13 Exemplo Multiplicar f(x) = x + 2x² +3x³ por g(x) = 4 + 5x + 6x². Multiplicar f(x) = x + 2x² +3x³ por g(x) = 4 + 5x + 6x².Temos: (fg) (x) = (x + 2x² + 3x³)(4 + 5x + 6x²) = = x(4 + 5x + 6x²) + 2x²(4+ 5x + 6x²) + 3x³(4 + 5x + 6x²) = = x(4 + 5x + 6x²) + 2x²(4+ 5x + 6x²) + 3x³(4 + 5x + 6x²) = = (4x + 5x² + 6x³) + (8x² + 10x³ + 12x 4 ) + = (4x + 5x² + 6x³) + (8x² + 10x³ + 12x 4 ) + + (12x³ + 15x x 5 ) = + (12x³ + 15x x 5 ) = = 4x + 13x² + 28x³ + 27x x 5. = 4x + 13x² + 28x³ + 27x x 5.

14 Propriedades da Multiplicação A operação de multiplicação em P (conjunto dos polinômios de coeficientes complexos) verifica as seguintes propriedades: A operação de multiplicação em P (conjunto dos polinômios de coeficientes complexos) verifica as seguintes propriedades: a. ASSOCIATIVA. Quaisquer que sejam p, q, r em P[x], tem-se que: (p. q). r = p. (q. r) b. COMUTATIVA. Quaisquer que sejam p, q em P[x], tem-se que: p. q = q. p c. ELEMENTO NEUTRO. Existe um polinômio p 0 (x)=0 tal que: p 0. p = p 0, ¥ p P d. DISTRIBUTIVA. Quaisquer que sejam p, q, r em P[x], tem-se que: p · (q + r) = p · q + p · r

15 Operações – Divisão Dados dois polinômios f (dividendo) e g 0 (divisor), dividir f por g é determinar dois outros polinômios q (quociente) e r (resto) de modo que se verifiquem as duas condições seguintes: Dados dois polinômios f (dividendo) e g 0 (divisor), dividir f por g é determinar dois outros polinômios q (quociente) e r (resto) de modo que se verifiquem as duas condições seguintes: a. q. g + r = f b.r < g (ou r = 0, caso em que a divisão é chamada exata) Exemplo: Quando dividimos f = 3x 4 – 2x³ + 7x + 2 por g = 3x³ - 2x² + 4x – 1, obtemos q = x e r = -4x² + 8x + 2, que satisfazem as duas condições: a. qg + r = x(3x³ - 2x² + 4x – 1) + (-4x² + 8x + 2) = = 3x 4 – 2x³ + 7x + 2 = f b.r = 2 e g = 3 r < g

16 Métodos, Algoritmos e Teoremas para a divisão de polinômios Método de Descartes* Método de Descartes* Este método, também conhecido com o nome de método dos coeficientes a determinar, baseia-se nos seguintes fatos: a.q = f – g, o que é conseqüência da definição, pois: qg + r = f (qg + r) = f e então q + g = f b.r < g (ou r = 0) O método de Descartes é aplicado da seguinte forma: 1) calculam-se q e r; 2) constroem-se os polinômios q e r, deixando incógnitos os seus coeficientes; 3) determinam-se os coeficientes impondo a igualdade qg + r = f. *René Descartes ( ): filósofo, cientista e matemático francês, conhecido como o pai da filosofia moderna.

17 Exemplo Dividir f = 5x³ + x² - 10x - 24 por g = x - 2. Dividir f = 5x³ + x² - 10x - 24 por g = x - 2.Temos: q = 3 – 1 = 2 q = ax² + bx + cq = 3 – 1 = 2 q = ax² + bx + c r < 1 r = 0 r = dr < 1 r = 0 r = d qg + r = f (ax² + bx + c) (x - 2) + d = 5x³ + x² - 10x – 24 Desenvolvendo, temos para todo x: ax³ + (b - 2a)x² + (c - 2b)x + (d - 2c) = 5x³ + x² - 10x – 24 Então, resulta: a = 5 b – 2a = 1 b = 2a + 1 b = 11 c – 2b = -10 c = 2b – 10 c = 12 d – 2c = -24 d = 2c – 24 d = 0 Resposta: q = 5x² + 11x + 12 e r = 0

18 Método da Chave Método da Chave Este método de divisão de polinômios é semelhante ao empregado para números inteiros. Exemplo: – – – 16 – 16 1 Vamos utilizar a mesma técnica para divisão de polinômios. Dividindo f = 2x 5 – 3x 4 + 4x³ - 6x + 7 por g = x³ - x² + x – 1: f 2x 5 - 3x 4 + 4x³ + 0x² - 6x + 7 x³ - x² + x – 1 g f 2x 5 - 3x 4 + 4x³ + 0x² - 6x + 7 x³ - x² + x – 1 g - 2x 5 + 2x 4 - 2x³ + 2x² 2x² - x + 1 q - 2x 5 + 2x 4 - 2x³ + 2x² 2x² - x + 1 q - x 4 + 2x³ + 2x² - 6x x 4 + 2x³ + 2x² - 6x + 7 x 4 - x³ + x² - x x 4 - x³ + x² - x x³ + 3x² - 7x + 7 x³ + 3x² - 7x x³ + x² - x x³ + x² - x + 1 4x² - 6x + 8 r 4x² - 6x + 8 r

19 Divisão por binômios do 1º grau (x – a) Teorema do resto Teorema do resto O resto da divisão de um polinômio f por x – a é igual ao valor numérico de f em a. r = f(a) Exemplo 1 : O resto da divisão de f = 5x 4 + 3x² + 11 por g = x – 3 é: f(3) = ² + 11 = = 443 Exemplo 2 : O resto da divisão de f = (x + 3) 7 + (x – 2)² por g = x + 3 é: f(-3) = (-3 + 3) 7 + (-3 – 2)² = (-5)² = 25

20 Teorema de DAlembert* Teorema de DAlembert* Um polinômio f é divisível por x – a se, e somente se, a é raiz de f. De acordo com o teorema do resto, temos r = f(a). Então: r = 0 f(a) = 0 (divisão exata) (a é raiz de f) (divisão exata) (a é raiz de f) Exemplo: Determinar o valor de p, para que o polinômio P(x) = 2x 3 + 5x 2 – px + 2 seja divisível por x - 2. Resolução: Se P(x) é divisível por x - 2, então P(2) = 0. P(2) = p + 2 = p + 2 = 0 p = 19 Resposta: p = 19. *Jean Le Rond DAlembert ( ): filósofo, matemático e físico francês; abandonado quando criança nos degraus de uma Igreja em Paris. Divisão por binômios do 1º grau (x – a)

21 Teorema do fator Teorema do fator Se c é uma raiz de um polinômio f(x), de grau c > 0, então x – c é um fator de f(x). Pelo teorema de DAlembert, a divisão de f(x) por x – c resulta um quociente q(x) e um resto r(c) tal que: f(x) = (x – c). q(x) + r(c) Se c é uma raiz de f(x), então f(c) = 0 e temos: f(x) = (x – c). q(x) Portanto, x – c é um fator de f(x). Como conseqüência, podemos dizer que f(x) é divisível por (x – a) e por (x – b), com a b, se, e somente se, f(x) for divisível por (x – a)(x – b).

22 Divisão por binômios do 1º grau (x – a) Algoritmo de Briot*-Ruffini** Algoritmo de Briot*-Ruffini** Um dispositivo que permite efetuar as divisões por polinômios do tipo x – a de uma maneira mais simples e rápida é o chamado: dispositivo prático ou algoritmo de Briot-Ruffini. termo constante termo constante do divisor, com coeficientes de x do dividendo p(x) do dividendo sinal trocado p(x) coeficientes do quociente resto *Charles Auguste Briot ( ): matemático francês **Paolo Ruffini ( ): médico e matemático italiano

23 Exemplo Dividir p = 2x 4 + 7x³ - 4x + 5 por h = x + 3 Resolução: (- 4) (- 4) x x q r q r Quociente: q = 2x³ + x² - 3x + 5 Resto: r = - 10

24 Equações Algébricas Sendo f(x) um polinômio em, chama-se equação algébrica à igualdade f(x) = 0. Portanto, as raízes da equação algébrica, são as mesmas do polinômio f(x). O grau do polinômio, será também o grau da equação. Sendo f(x) um polinômio em, chama-se equação algébrica à igualdade f(x) = 0. Portanto, as raízes da equação algébrica, são as mesmas do polinômio f(x). O grau do polinômio, será também o grau da equação. Exemplo: 3x 4 - 2x 3 + x + 1 = 0 é uma equação do 4º grau. Propriedades: Propriedades: P1. Toda equação algébrica de grau n possui exatamente n raízes. Exemplo: A equação x 3 - x = 0 possui 3 raízes a saber: x = 0 ou x = 1 ou x = -1. Dizemos então que o conjunto verdade ou conjunto solução da equação dada é S = {0, 1, -1}.

25 P2. Se b for raiz de f(x) = 0, então f(x) é divisível por x - b. Esta propriedade é muito importante para diminuir o grau de uma equação, o que se consegue dividindo f(x) por x - b, aplicando Briot-Ruffini. P3. Se o número complexo a + bi for raiz de f(x) = 0, então o conjugado a - bi também será raiz. Exemplo: Qual o grau mínimo da equação f(x) = 0, sabendo-se que três de suas raízes são os números 5, 3 + 2i e 4 - 3i. Pela propriedade P3, os complexos conjugados 3 - 2i e 4 + 3i são também raízes. Logo, por P1, concluímos que o grau mínimo de f(x) é igual a 5, ou seja, f(x) possui no mínimo 5 raízes. P4. Se a equação f(x) = 0 possuir k raízes iguais a m então dizemos que m é uma raiz de grau de multiplicidade k. Exemplo: A equação (x - 4) 10 = 0 possui 10 raízes iguais a 4. Portanto, 4 é raiz décupla ou de multiplicidade 10.

26 P5. Se a soma dos coeficientes de uma equação algébrica f(x) = 0 for nula, então a unidade é raiz da equação (1 é raiz). Exemplo: 1 é raiz de 40x x x - 40 = 0, pois a soma dos coeficientes é igual a zero. P6. Toda equação de termo independente nulo, admite um número de raízes nulas igual ao menor expoente da variável. Exemplo: A equação 3x 5 + 4x 2 = 0 possui duas raízes nulas. A equação x x 12 = 0, possui 100 raízes, das quais 12 são nulas. P7. Se x 1, x 2, x 3,..., x n são raízes da equação a o x n + a 1 x n-1 + a 2 x n a n = 0, então ela pode ser escrita na forma fatorada: a o (x - x 1 ). (x - x 2 ). (x - x 3 )..... (x - x n ) = 0. Exemplo: Se - 1, 2 e 53 são as raízes de uma equação do 3º grau, então podemos escrever: (x + 1). (x - 2). (x - 53) = 0, que desenvolvida fica: x x x = 0.

27 Relações entre coeficientes e raízes (Relações de Girard*) Equação do 2º grau Equação do 2º grau Consideremos a equação: 1) ax² + bx + c = 0 (a 0), cujas raízes são x 1 e x 2. Vimos que essa equação pode ser escrita sob a forma: 2) a(x – x 1 )(x – x 2 ) = 0 Temos a identidade: ax² + bx + c = a(x – x 1 )(x – x 2 ), ¥ x, portanto: x 1 + x 2 = - b / a e x 1 x 1 = c / a *Albert Girard ( ): matemático francês que possuía grande interesse pela música

28 Equação do 3º grau Equação do 3º grau Consideremos a equação: 1) ax³ + bx² + cx + d = 0 (a 0), cujas raízes são x 1, x 2 e x 3. Vimos que essa equação pode ser escrita sob a forma: 2) a(x – x 1 )(x – x 2 )(x – x 3 ) = 0 Temos a identidade: ax³ + bx² + cx + d = a(x – x1)(x – x2)(x – x3), ¥ x, portanto: x 1 + x 2 + x 3 = - b / a, x 1 x 2 + x 2 x 3 + x 3 x 1 = c/a e x 1 x 2 x 3 = - d / a

29 Equações de grau n qualquer Equações de grau n qualquer Seguindo os mesmos passos anteriores, vamos agora descrever as relações entre coeficientes e raízes de uma equação polinomial de grau n (n 1): Soma das raízes = x 1 + x 2 + x x n = - a n-1 / a n Soma dos produtos das raízes tomadas: duas a duas = x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 1 x x n-1 x n = a n-2 / a n três a três = x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x x n-2 x n-1 x n = - a n-3 / a n h raízes da equação = (-1) h. a n-h / a n Produto das raízes = x 1 x 2 x 3... x n = (-1) n. a 0 / a n

30 Exemplo Escrever as relações de Girard para a equação algébrica x³ + 7x² - 3x + 5 = 0, considerando x 1, x 2 e x 3 as raízes da equação. Escrever as relações de Girard para a equação algébrica x³ + 7x² - 3x + 5 = 0, considerando x 1, x 2 e x 3 as raízes da equação. Resolução: Pela equação, temos: a n = 1, a n-1 = 7, a n-2 = -3, a 0 = 5 Assim, temos que: x 1 + x 2 + x 3 = - (7 / 1) = -7 x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = (-3 / 1) = -3 x 1 x 2 x 3 = - (5 / 1) = -5

31 Contato:


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