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© 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 1 Capítulo 10 Funções polinomiais.

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1 © 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 1 Capítulo 10 Funções polinomiais

2 © 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 2 Objetivos de aprendizagem Gráficos de funções polinomiais. Comportamento das funções polinomiais nos extremos do domínio. Raízes das funções polinomiais. Divisão longa e algoritmo da divisão. Teorema do resto e teorema de DAlembert. Divisão de polinômios pelo método de Briot Ruffini. Teorema das raízes racionais. Limites superior e inferior das raízes de uma função polinomial.

3 © 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 3 Gráficos de funções polinomiais Cada monômio na soma (a n x n + a n–1 x n–1, …, a 0 ) é um termo do polinômio. A forma padrão de escrever uma função polinomial é com seus termos apresentando graus decrescentes. As constantes a n, a n–1, …, a 0 são os coeficientes do polinômio. O termo a n x n é o termo principal, e a 0 é o termo constante. Toda função polinomial está definida e é contínua para todos os números reais.

4 © 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 4 Gráficos de funções polinomiais Gráficos de quatro funções cúbicas típicas: (a) dois com coeficiente principal positivo e (b) dois com coeficiente principal negativo.

5 © 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 5 Gráficos de funções polinomiais Gráficos de quatro funções quárticas típicas: (a) dois com coeficiente principal positivo e (b) dois com coeficiente principal negativo.

6 © 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 6 Gráficos de funções polinomiais TEOREMA - Extremos locais e raízes de funções polinomiais Uma função polinomial de grau n tem, no máximo, n - 1 extremos locais e, no máximo, n raízes. Uma característica importante das funções polinomiais é o seu comportamento nos extremos do domínio. Esse comportamento está relacionado com o comportamento do termo principal.

7 © 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 7 Gráficos de funções polinomiais Teste do termo principal para comportamento das funções polinomiais nos extremos do domínio

8 © 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 8 Raízes das funções polinomiais Encontrar as raízes de uma função f é equivalente a encontrar os valores de x por onde o gráfico de y = f (x) passa no eixo horizontal x, que são as soluções da equação f (x) = 0. Uma ideia é fatorar a função polinomial. Se f é uma função polinomial e (x - c) m é um fator de f, mas (x - c) m+1 não o é, então c é uma raiz de multiplicidade m de f, isto é, m é o número de vezes que c é raiz dessa função. Uma raiz de multiplicidade m > 2 é uma raiz repetida.

9 © 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 9 Raízes das funções polinomiais Gráfico de f (x) = (x - 2) 3 (x + 1) 2.

10 © 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 10 Raízes de multiplicidade ímpar e par Se uma função polinomial f tem uma raiz real c de multiplicidade ímpar, então o gráfico de f cruza o eixo horizontal x em (c, 0), e o valor de f muda de sinal em x = c. Se uma função polinomial f tem uma raiz real c de multiplicidade par, então o gráfico de f não cruza o eixo horizontal x em (c, 0), e o valor de f não muda de sinal em x = c. O teorema do valor intermediário nos diz que a mudança de sinal da função implica a existência de uma raiz real dessa função.

11 © 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 11 Teorema do valor intermediário Se f (a) < 0 < f (b), então existe uma raiz x = c entre a e b.

12 © 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 12 Divisão longa e o algoritmo da divisão Veremos uma maneira de fatorar um polinômio utilizando a divisão de polinômios, bastante semelhante à divisão de números inteiros. Observe os exemplos a seguir:

13 © 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 13 Divisão longa e o algoritmo da divisão A divisão, seja de um número inteiro ou de um polinômio, envolve um dividendo dividido por um divisor para obter um quociente e um resto. Podemos verificar e resumir nosso resultado com uma equação da forma (Divisor)(Quociente)+ Resto = Dividendo Das divisões longas expostas, são verdades:

14 © 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 14 Algoritmo da divisão para polinômios Existem os únicos polinômios q(x) e r(x), chamados de quociente e resto, respectivamente, tais que: A função f (x) no algoritmo da divisão é o dividendo, e d(x) é o divisor. A equação dada no algoritmo da divisão pode ser escrita na forma de fração como:

15 © 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 15 Teorema do resto e teorema de DAlembert Teorema do resto Se um polinômio f (x) é dividido por x - k, então o resto é r = f (k). Teorema de DAlembert O teorema de DAlembert é uma consequência imediata do teorema do resto. Uma função polinomial f (x) tem um fator x - k se, e somente se, f (k) = 0, isto é, a divisão de f (x) por x - k é exata se, e somente se, f (k) = 0.

16 © 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 16 Divisão de polinômios pelo método de Briot Ruffini Um método mais curto para a divisão de um polinômio pelo divisor x - k é chamado método de Briot Ruffini.

17 © 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 17 Divisão de polinômios pelo método de Briot Ruffini Repetimos o coeficiente do termo de maior grau embaixo dele mesmo. Multiplicamos esse número pelo k e somamos com o próximo coeficiente da primeira linha; o resultado fica embaixo desse próximo coeficiente. Repetimos esses passos até o final: Logo, temos que:

18 © 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 18 Teorema das raízes racionais Seja f uma função polinomial de grau n > 1 da forma: p é um fator inteiro do termo independente a 0 ; q é um fator inteiro do coeficiente principal a n. Limites superior e inferior das raízes de uma função polinomial Um número k é um limite superior para raízes reais de f, se f (x) = y não for zero, quando x for maior do que k.

19 © 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 19 Limites superior e inferior das raízes de uma função polinomial c é um limite inferior e d é um limite superior para as raízes reais de f.

20 © 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 20 Teste dos limites superior e inferior de raízes reais Seja f uma função polinomial de grau n > 1 com um coeficiente principal positivo. Suponha f (x) dividido por x - k, usando o método de Briot Ruffini. Se k > 0 e todos os números na segunda linha não são negativos (sendo positivos ou zero), então k é um limite superior para as raízes reais de f. Se k < 0 e os números na segunda linha são alternadamente não negativos e não positivos, então k é um limite inferior para as raízes reais de f.


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