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Prof. Cesário b a + b = c a (3). 8 – OPERAÇÕES USANDO AS COMPONENTES (i) ADIÇÃO Sejam v 1 = x 1 i + y 1 j +z 1 k e v 2 = x 2 i + y 2 j + z 2 k dois vetores.

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1 Prof. Cesário b a + b = c a (3)

2 8 – OPERAÇÕES USANDO AS COMPONENTES (i) ADIÇÃO Sejam v 1 = x 1 i + y 1 j +z 1 k e v 2 = x 2 i + y 2 j + z 2 k dois vetores. Atenção: a partir deste ponto usaremos a notação negrito-itálico para indicar uma grandeza vetorial. Isto é: a notação negrito-itálico substituirá a seta em cima da letra. v 1 + v 2 = (x 1 + x 2 )i + (y 1 + y 2 )j + (z 1 + z 2 )k Soma dos x, soma dos y, soma dos z. (ii) MULTIPLICAÇÃO POR ESCALAR r.v 1 = (rx 1 )i + (ry 1 )j + (rz 1 )k Multiplica-se o escalar r por cada uma das coordenadas.

3 (iii) SUBTRAÇÃO v 1 – v 2 = (x 1 – x 2 )i + (y 1 – y 2 )j + (z 1 – z 2 )k. Subtrai-se as coordenadas. (iv) PRODUTOS Existem grandezas que, apesar de serem escalares, são definidas a partir de um produto de dois vetores. Como exemplo temos a grandeza trabalho que é definida como um produto do vetor deslocamento pelo Vetor força. Outras, também definidas, como um produto de dois vetores são grandezas vetoriais. É o caso de uma força sobre uma partícula eletrizada em movimento em um campo magnético. Vejamos esses dois tipos de produto.

4 9 – PRODUTO ESCALAR Dados dois vetores u e v, define-se o produto escalar de u por v, denotado u.v, como sendo o escalar: u.v = |u|.|v|.cos Onde |u|, |v| são os módulos dos vetores u e v e o ângulo por eles formados. Lembrete: Para indicar um vetor estamos usando as letras em negrito-itálico. Se os vetores forem indicados na forma x i + y j + z k, ao multiplicar, teremos produtos obtidos a partir dos unitários i, j, k. i.i = j.j = k.k = 1.1.cos 0º = = 1 i.j = i.k = j.i = j.k = k.j= k.i = 1.1.cos 90º = = 0 Assim, (x 1 i + y 1 j + z 1 k). (x 2 i + y 2 j + z 2 k) = x 1.x 2 + y 1.y 2 + z 1.z 2

5 Exemplo 2: O trabalho é definido pelo produto escalar r.F onde r é o vetor deslocamento e F é a força. Determinar o trabalho realizado pela força F = 20i + 12j – 5k (N) enquanto o corpo se desloca do ponto A = (1, 2, 0) ao ponto (5, 4, 3) (coordenadas dadas em metros). O vetor r vai do ponto (1, 2, 0) ao ponto (5, 4, 3). Isto significa 5 – 1 = 4 unidades para a direita; 4 – 2 = 2 unidades para cima; 3 – 0 = 3 unidades para fora. Portanto: r = 4i + 2j + 3k. W = r.F = (20.4) + (12.2) + (-5.3) = 89 joules Exemplo 1: Se u = 3i + 4j – 6k e v = 5i + 5j + 2 k, u.v = (-6).2 = 23

6 10 – PRODUTO VETORIAL Dados os vetores u e v, define-se o produto vetorial, que é indicado por u X v ou u v como sendo o vetor w com as seguintes características: (i) Módulo de w: |w| = |u|. |v|. sen Onde é o ângulo formado pelos dois vetores. (ii) Direção de w: perpendicular ao plano formado por u e v. (iii) Sentido de w: determinado pela regra da mão direita aberta (regra do tapa) Com a mão direita aberta: Aponta com o polegar o primeiro vetor Os demais dedos apontam o sentido do segundo vetor. A palma da mão indicará o produto.

7 F r Se você aplica a força F, a porca terá o movimento indicado pelo vetor que é denominado torque. F Pode-se aplicar a força F à distância r ou a força 2F à distância r/2, para produzir o mesmo efeito. APLICAÇÕES FÍSICAS DO PRODUTO VETORIAL O efeito de rotação devido a força é denominado Torque. Se P é o ponto de aplicação da força e O o centro de rotação, o torque da força F em relação ao ponto O é definido por = AO X F (1) TORQUE

8 (2) MOVIMENTO DE CARGA ELÉTRICA EM CAMPO MAGNÉTICO S N Q v B A força que age sobre a partícula eletrizada tem o sentido indicado é dada por F = q.v X B F Se uma partícula atravessa um campo magnético ela sofre a ação de uma força. ímãs Os ímãs criam um campo magnético.

9 EXERCÍCIOS 1 – Dados os vetores abaixo, decomponha-os e determine o módulo e a orientação do vetor soma ou resultante: v 1 = 300 m, S40ºL; v 2 = 200 m, O30ºN; v 3 = 200 m, L40ºS; v 4 = 500 m, N60ºL. 2 - Determine a soma dos vetores indicados na figura (I). 3 - Sejam u = (1, 2, 3), v = (-4, 8, -3) e w = (4, -2, -1) três vetores. Calcule: ( a ) u. v ( b ) u x w ( c ) (u. v). w ( d ) u x (v. w) ( e ) (u x v). w ( f ) 2u x 3w ( g ) u. 2w + 3u. 4v ( h ) u x (w x v) ( i ) (u x w) x v ( j ) 2u. 3w ( k ) u. (v. w) ( l ) u x (v. w) Observação: a notação (1, 2, 3) é equivalente a 1i + 2j + 3k.


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