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PROPRIEDADE ASSOCIATIVA GENERALIZADA Sejam x 1, x 2,..., x n elementos do grupo (G, *). define-se o resultado de x 1 *x 2 *x 3 *... *x n, por x 1 *x 2.

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2 PROPRIEDADE ASSOCIATIVA GENERALIZADA Sejam x 1, x 2,..., x n elementos do grupo (G, *). define-se o resultado de x 1 *x 2 *x 3 *... *x n, por x 1 *x 2 *x 3 = (x 1 *x 2 )*x 3 x 1 *x 2 *x 3 *x 4 = (x 1 *x 2 *x 3 )*x 4 = ((x 1 *x 2 )*x 3 )*x 4... x 1 *x 2 *x 3 *...*x n = (x 1 *x 2 *x 3 *...*x n-1 )*x n = ((x 1 *x 2 )*x 3 )*...*x n-1 )*x n A propriedade associativa, também válida em um semi-grupo, independe da forma com que são associados os elementos. Isto é: (x 1...x r )(x r+1... x n ) = (x 1...x s )(x s+1...x n ), (r, s), 1 < r < s < n. EXEMPLO: Seja * definida por a * b = a + b + ab. Calcular (2 * 3 * 5) 2 * 3 * 5 = (2 * 3) * 5 = ( ) * 5 = 11 * 5 = = 71 Ou: 2 * (3 * 5) = 2 * (3 + 5) = 2 * ( ) = 2 * 23 = = 71.

3 POTÊNCIAS EM UM GRUPO Definição 1: Seja (G, *) um grupo. Define-se, para n N, a potência de x, por x n = x*x*... *x (onde x figura n vezes). No grupo multiplicativo: x n = x.x.x... No grupo aditivo x n = x + x + x... Exemplo: Considere o grupo (G, *) onde * é definido por a + b + ab. Calcular = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = (2 * 2) * 2 * (2 * 2) A operação é associativa. 2 * 2 = = 8 (2 * 2) * 2 * (2 * 2) = 8 * 2 * 8 =( ) * 8 =26 * 8 = = 242

4 Em um grupo, n, m N, tem-se: (1) x a x b = x a+b (2) (x a ) b = x ab (3) X a = x b (a b ) (4) x 0 = n (n é o elemento neutro da operação). (5) x -a = (x -1 ) a (x -1 é o inverso de x). Definição 2: seja a um elemento de um grupo. Se a x = a, então o elemento a é dito elemento idempotente. Em um grupo infinito, o único elemento idempotente é o elemento neutro. EXERCÍCIO: Considere o grupo (G, *) onde * é definido por a + b + ab. Calcule: (a) O elemento neutro de *. (b) 3 -1 (c) 4 -1 (d) x -1 (e) 5 -3

5 EXERCÍCIOS (1) Considere definidas no conjunto G = (a, b, c, d) as operações apresentadas nas tabelas: Informe, justificando, se alguma (ou ambas) das operações estabelece no conjunto G uma estrutura de grupo. (2) Sejam a, b, c e x elementos de um grupo G com a operações definidas na tabela. Resolva cada uma das equações em relação a x. (a)x b = c. (b) x 2 a = b x c -1. (c) x 2 = a 2 (d) x 5 = n, onde n é o elemento neutro de G para a operação Å. (e) (x a x) 3 = b x (f) x 2 a = (x a) -1. (g) x 2 b = x a -1 c.

6 CONJUGADO Seja G um grupo Conjugado de x por y, que se denota por [x] y, é o elemento de G tal que [x] y = y -1 xy. COMUTADOR Comutador de x e y, que se denota-se por [x, y], ao elemento de G, tal que [x, y] = xyx -1 y -1. Considere o grupo (G, *) onde * é definido por a + b + ab. Calcule: EXERCÍCIOS: (a) o conjugado de 3 por 5. (b) O comutador de 3 e 5.


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