Explorando os quadrados mágicos (3x3)

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1 Explorando os quadrados mágicos (3x3)
Didática da Matemática Prof. Ilydio Pereira de Sá

2 DESAFIO: Usando apenas os números de 1 a 9, complete o quadrado abaixo, de forma que todas as somas (na horizontal, na vertical e na diagonal) sejam iguais a 15. Não olhe a solução antes de tentar resolver ...

3 Usando apenas os números de 1 a 9, complete o quadrado abaixo, de forma que todas as somas (na horizontal, na vertical e na diagonal) sejam iguais a 15. 2 9 4 2 9 4 7 5 3 7 5 3 6 1 8 8 6 1 1º) 15 : 3 = 5 2º) 5 – 3 = 2 2  4

4 FAÇA ESSE AGORA: Usando apenas os números de 3 a 11, complete o quadrado abaixo, de forma que todas as somas (na horizontal, na vertical e na diagonal) sejam iguais a 21. 4 11 6 4 11 6 9 7 5 9 7 5 8 3 10 8 3 10 1º) 21 : 3 = 7 2º) 7 – 3 = 4 4  6

5 JUSTIFICATIVA MATEMÁTICA
O termo central do quadrado mágico de ordem 3 é sempre igual à terça parte da soma mágica, ou seja, se designarmos por x o termo central e por S o valor da soma mágica, sempre teremos x = S/3. VEJAMOS: Inicialmente, chamamos a atenção para o fato de que a soma dos dois números extremos de qualquer fila (horizontal, diagonal ou vertical) é sempre igual à S – x, veja um exemplo: Na segunda fila horizontal temos: D + x + E = S, logo D + E = S – x A B C D x E F G H Vamos somar os termos de duas linhas paralelas, por exemplo, a primeira e a terceira. Teremos: A + B + C = S F + G + H = S Somando os dois membros dessas igualdades, teremos: A + F + B + G + C + H = 2S

6 A + F + B + G + C + H = 2S (A + H) + (F + C) + (B + G) = 2S Acontece que, como vimos anteriormente, essas somas obtidas (A + H), ( (F + C) e (B + G) são todas iguais a S – x. Logo, teremos: (S – x) + (S – x) + (S – x) = 2S Ou ainda: 3. (S – x) = 2S, ou 3 S – 3x = 2S, o que acarreta 3S – 2S = 3x, ou ainda 3x = S e, para finalizar: x = S / 3 Analogamente, você poderia provar que, em qualquer quadrado mágico de ordem ímpar e igual a k (k x k), o termo central deverá ser igual a S / k.