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ESTUDO DAS CÔNICAS (Noções básicas) Prof. Carlos A. Gomes.

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1 ESTUDO DAS CÔNICAS (Noções básicas) Prof. Carlos A. Gomes

2 1-INTRODUÇÃO Cônicas por quê? As seções cônicas são curvas obtidas pela interseção de um cone circular reto de duas folhas com um plano.

3 2-ESTUDO ANALÍTICO I.A ELIPSE Definição: Dados um plano e dois pontos fixos F 1 e F 2 Pertencentes a, chamamos de ELIPSE de focos F 1 e F 2 ao lugar geométrico dos pontos P do plano cuja soma das distâncias aos pontos F 1 e F 2 permanece constante.

4 Como desenhar uma elipse perfeita? Fixe um barbante em dois pontos fixos F 1 e F 2 de um plano, de modo que o barbante não fique esticado. Com a ponta de um lápis estique o barbante e o mantendo esticado descreva com o lápis uma curva.

5 Elementos geométricos de uma elipse.

6 OBSERVAÇÃO: Já vimos que Qual o valor dessa constante? Vamos mostrar que

7 Para isso vamos introduzir um sistema de coordenadas cartesianas. Para qualquer posição do ponto P sobre a elipse sabemos que

8 Para determinarmos o valor dessa constante tomemos uma posição particular do ponto P, conforme ilustra a Figura abaixo Para esta posição do ponto P, Portanto,

9 Como a soma e para uma particular posição do ponto P vale 2a (medida do eixo maior da elipse) segue que para todos os pontos da elipse,

10 Em particular, perceba que na figura abaixo d(B 2 F 2 )=a, pois mas,especialmente para o ponto B 2, Portanto d(B 2,F 2 )=a. Em particular,

11 EQUAÇÃO PADRÃO (CANÔNICA) DE UMA ELIPSE. Pois,

12 Elevando cada membro ao quadrado, desenvolvendo... elevando cada membro ao quadrado,

13 Lembrando que Temos

14 OBSERVAÇÕES: a)Caso o eixo maior da elipse estivesse sobre o eixo y a sua equação padrão (canônica) seria b)A razão =c/a é chamada de EXCENTRICIDADE da elipse e mede o quanto a elipse é achatada ou arredondada, conforme sugere a figura a seguir:

15 c)Pode-se demonstrar que a medida da área de uma elipse é A= ab. d)Caso a elipse não esteja centrada na origem a sua equação assume uma das formas a seguir dependendo se o seu eixo maior é paralelo ao eixo x ou ao eixo y, respectivamente ou Aqui (x c, y c ) são as coordenadas do centro da elipse.

16 EXERCÍCIOS 01.(UFRN-2009) O gráfico que melhor representa a equação com a e b positivos e a > b, é:

17 Resolução: Como a>b segue que E portanto o denominador do y 2 é maior que o denominador do x 2 o Que implica que a equação dada representa uma elipse com eixo maior Sobre o eixo y. (ALTERNATIVA: A)

18 02. Copa do Mundo voltará a ser realizada na América do Sul após 36 anos, já que a Argentina sediou o evento em 1978, coerente com a política da FIFA de um rodízio no direito de sediar uma Copa do Mundo entre as diferente confederações continentais. Dezoito cidades candidataram-se para sediar as partidas da Copa, todas capitais de estados. A FIFA limita o número de cidades-sedes entre oito e dez, entretanto, dada a dimensão continental do país sede, a organização cedeu aos pedidos da CBF e concedeu permissão para que se utilizem 12 sedes no mundial. Uma das exigências para que as cidades candidatas devem obedecer é de que melhorem sua infra- estrutura de trânsito. Em Natal, serão contruídos novos viadutos, entre eles o que está esquematizado na figura abaixo, com estrutura na forma de uma semi-elipse com vão de 40m e flecha de 10m. Uma placa indicando a altura h deverá ser fixada antes do viaduto para informação dos usuário da via. A indicação da placa deve apontar uma medida de: a)8,5m b)5,8m c)6,0m d)5,0m

19 Resolução: Introduzindo um sistema de coordenadas cartesianas, A equação cartesiana dessa elipse é Quando x=10m, (ALTERNATIVA: A)

20 03. (UFRN – 2004) Uma seção cônica é obtida a partir da interseção de um cone com um plano. Na figura ao lado, temos um exemplo de uma seção cônica, denominada Elipse. A figura consiste de duas esferas S 1 e S 2 que tangenciam o cone em duas circunferências C 1 e C 2 e tangenciam o plano p nos pontos F 1 e F 2. Os pontos P 1, P 2 e P estão, respectivamente, na interseção de uma reta do cone com as circunferências e a Elipse. A soma das distâncias de P aos pontos F 1 e F 2 é igual a distância a) entre as duas circunferências. b) entre P 1 e P 2. c) entre os centros das duas esferas. d) entre F 1 e F 2.

21 Resolução: É um fato bastante conhecido que se de um ponto externo a uma circunferência traçarmos dois segmentos tangentes a ela esses segmentos tem a mesma medida (Teorema de Pitot), conforme ilustra a figura abaixo:

22 Existe uma extensão bem menos divulgada deste resultado na geometria espacial em que prova-se que se de um ponto externo a uma superfície esférica traçarmos dois segmentos tangentes à superfície esférica então esses segmentos serão congruentes. De posse deste resultado, como o ponto P é externo as duas esferas (veja a figura ao lado) não é difícil ver que portanto temos a seguinte igualdade: (ALTERNATIVA: B)

23 04. (UFPB) O escudo de um time de futebol é formado por uma elipse de excentricidade 4/5, cujo eixo menor mede 6cm, e duas circunferências concêntricas e tangentes a essa elipse, como mostra a figura ao abaixo. Considere que a área da região limitada pela elipse é dada por A= ab, sendo a, em centímetros, o comprimento de um semi-eixo maior e b, de um semi-eixo menor. Nesse contexto, é correto afirmar que a área da região hachurada mede: a)19 cm 2 b) 17 cm 2 c) 15 cm 2 d) 18 cm 2 e) 24 cm 2 Resolução:

24 Mas,o eixo menor da elipse mede 6cm e portanto 2b=6 e daí b=3. Assim, Assim, A medida da área hachurada é (ALTERNATIVA: A)

25 05.(UEL-2007) Existem pessoas que nascem com problemas de saúde relacionados ao consumo de leite de vaca. A pequena Laura, filha do Sr. Antônio, nasceu com este problema. Para solucioná-lo, o Sr. Antônio adquiriu uma cabra que pasta em um campo retangular medindo 20 m de comprimento e 16 m de largura. Acontece que as cabras comem tudo o que aparece à sua frente, invadindo hortas, jardins e chácaras vizinhas. O Sr. Antônio resolveu amarrar a cabra em uma corda presa pelas extremidades nos pontos A e B que estão 12 m afastados um do outro. A cabra tem uma argola na coleira por onde é passada a corda, de tal modo que ela possa deslizar livremente por toda a extensão da corda. Observe a figura e responda a questão a seguir. Qual deve ser o comprimento da corda para que a cabra possa pastar na maior área possível, dentro do campo retangular? a) 10 m.b) 15 m.c) 20 m.d) 25 m.

26 Resolução: De acordo com a teoria que vimos, ao amarrarmos uma corda em dois pontos fixos de um plano a curva descrita por um móvel que mantém essa corda esticada ao descrever uma volta completa é uma elipse. E Numa elipse Onde 2a é o comprimento do eixo maior da elipse que no caso é de 20m. Note que d(P,A)+d(P,B) é justamente o comprimento da corda e portanto Io comprimento da corda é igual a 20m. (A e B são os focos!) (ALTERNATIVA: C)

27 06.(UEL-2005) Em uma praça dispõe-se de uma região retangular de 20 m de comprimento por 16 m de largura para construir um jardim. A exemplo de outros canteiros, este deverá ter a forma elíptica e estar inscrito nessa região retangular. Para aguá-lo, serão colocados dois aspersores nos pontos que correspondem aos focos da elipse. Qual será a distância entre os aspersores? a) 4 m b) 6 m c) 8 m d) 10 m e) 12 m Resolução:

28 Introduzindo um sistema de coordenadas cartesianas, Como os aspersores estão localizados nos focos de coordenadas (-c,0) e (c,0), segue que Assim a distância entre os aspersores é igual a 2c=2.6=12m (ALTERNATIVA: E)

29 07. No plano cartesiano, a curva de equações paramétricas x=2cost e y=5sent com t lR é: a) uma senóide b) uma cossenóide c) uma hipérbole d) uma circunferência e) uma elipse Resolução: Como Segue que que é a equação padrão de uma elipse. (ALTERNATIVA: E)

30 08.(UERJ) Uma porta colonial é formada por um retângulo de 100 cm × 200 cm e uma semi-elipse. Observe as figuras: Na semi-elipse o eixo maior mede 100 cm e o semi-eixo menor, 30 cm. Calcule a medida da corda PQ, paralela ao eixo maior, que representa a largura da porta a 224 cm de altura.

31 Resolução: Introduzindo um sistema de coordenadas cartesianas, A equação cartesiana dessa elipse é Quando y=14cm,

32 09.Esboce a elipse descrita pela equação Resolução: Como a equação não está na forma padrão. Vamos usar a técnica de Completar os quadrados:

33 Lembrando que neste caso a equação padrão é Segue que a elipse possui centro C=(5,5), a=4 e b=3. assim o seu esboço é

34 10.Quais as equações das retas tangentes (t) a elipse pelo ponto P=(7,2). Resolução: Para determinarmos os pontos de interseção entre a reta (t) e a elipse Devemos resolver o sistema Substituindo o y na segunda equação obtemos Como queremos que a reta (t) e a elipse sejam tangentes devemos ter

35 Assim, Portanto m=0 ou m=7/10. Como a equação da reta t é da forma Segue que as equações das retas tangentes são

36 II.A HIPÉRBOLE Definição: Dados um plano e dois pontos fixos F 1 e F 2 pertencentes a, chamamos de HIPÉRBOLE de focos F 1 e F 2 ao lugar geométrico dos pontos P do plano a cujo módulo da diferença das distâncias aos pontos F 1 e F 2 permanece constante.

37 Elementos geométricos de uma hipérbole

38 OBSERVAÇÃO: Já vimos que Qual o valor dessa constante?

39 Para respondermos essa questão vamos introduzir um sistema de coordenadas cartesianas. como para qualquer posição do ponto P sobre a hipérbole, vamos determinar essa constante para uma posição particular do ponto P.

40 Para essa posição particular, Portanto,

41 Como e para uma particular posição do ponto P vale 2a (medida do eixo real da hipérbole) segue que para todos os pontos da hipérbole,

42 EQUAÇÃO PADRÃO (CANÔNICA) DE UMA HIPÉRBOLE. Pois

43 Elevando cada membro ao quadrado, desenvolvendo... Elevando cada membro ao quadrado,

44 Fazendo Como c>a, segue que

45 Note que aqui não estamos aplicando o teorema de Pitágoras! Apenas chamamos o número positivo c 2 -a 2 de b 2, com o intuito de que a equação da hipérbole fique semelhante a já conhecida equação da elipse! Assim,

46 OBSERVAÇÕES: a)Caso os vértices da hipérbole estivessem localizados sobre o eixo y a sua equação padrão seria b)Aqui o quociente e=c/a também é denominado de EXECENTRICIDADE da hipérbole e neste caso é um indicador abertura da hipérbole, sendo tanto mais aberta quando maior for a sua excentricidade, que neste casa da hipérbole é sempre um número maior que 1, pois na hipérbole c>a.

47 c)Caso a hipérbole não esteja centrada na origem a sua equação assume uma das formas a seguir dependendo se o seu eixo real (eixo que liga os seus vértices) é paralelo ao eixo x ou ao eixo y, respectivamente ou Aqui (x c, y c ) são as coordenadas do centro da hipérbole.

48 d)ASSÍNTOTAS DE UMA HIPÉRBOLE Já vimos que a equação padrão de uma hipérbole é Isolando o y, Quando x cresce,

49 As retas Se aproximam da hipérbole quando. Estas retas são chamadas de ASSÍNTOTAS da hipérbole.

50 EXERCÍCIOS 1.(UFPB) Uma quadra de futsal está representada na figura abaixo pelo Retângulo ABCD, onde A=(-20,-10) e C=(20,10). Cada uma das áreas dos goleiros (regiões hachuradas) é delimitada por uma das linhas de fundo, AD ou BC, e por um dos dois ramos de uma hipérbole de focos F 1 e F 2. O Círculo central e a hipérbole são concêntricos, o raio do círculo mede 3m e uma das assíntotas da hipérbole passa pelos pontos A e C. Dados:

51 Nesse contexto, identifique as proposições verdadeiras e dê como resposta a soma dos números relativos às proposições corretas. (01).A distância entre o centro do círculo e um vértice da hipérbole é de 12m. (02).A quadra tem 800m 2 de área. (04).A equação da hipérbole é (08).A excentricidade da hipérbole é igual a 5/3. (16).O eixo imaginário da hipérbole tem comprimento igual a 4 vezes o raio do círculo.

52 Resolução: (01).A distância entre o centro do círculo e um vértice da hipérbole é de 12m. O centro do círculo é o ponto (0,0) e os vértices da hipérbole podem ser determinados assim; Como a equação genérica dessa assíntota é y=bx/a segue que b/a=1/2, e Portanto a=2b. como uma das assíntotas da hipérbole passam por A=(-20,-10) e C=(20,10) segue que a sua equação é y=x/2. Lembrando que E que VERDADEIRA, pois

53 Assim, Logo as coordenadas dos vértices da hipérbole são V 1 =(-12,0) e V 2 =(12,0) e Portanto a distância entre o centro da circunferência e um dos vértices é 12m (02).A quadra tem 800m 2 de área. VERDADEIRA,pois A=(-20,-10) e C=(20,10), o que implica que as dimensões da quadra são 40m e 20m,conforme ilustra a figura abaixo Assim a medida da área da quadra é A=40.20=800m 2

54 (04).A equação da hipérbole é FALSA,pois a equação padrão de uma hipérbole é Como já vimos, neste caso a=12 e b=6 e portanto a equação da hipérbole é (08).A excentricidade da hipérbole é igual a 5/3. FALSA,pois a excentricidade de uma hipérbole é e=c/a. No caso,

55 (16).O eixo imaginário da hipérbole tem comprimento igual a 4 vezes o raio do círculo. VERDADEIRA,pois o eixo imaginário da hipérbole tem comprimento 2b=2.6=12 e o raio da circunferência tem medida 3m. Portanto O eixo imaginário da hipérbole tem comprimento igual a 4 vezes o raio do círculo.

56 03. Um piloto guia o seu avião mantendo sempre constante a diferença entre suas distâncias entre duas estações transmissoras. Por causa disso, o avião segue uma trajetória que é um ramo de um hipérbole. A hipérbole pode ser descrita aproximadamente pela equação : ( x e y em Km). a) Qual a distância entre as duas estações transmissoras? b) Se o avião está a 40Km da estação mais próxima, a que distância esta da outra?

57 Resolução: a)Como a equação padrão de uma hipérbole é Segue que Como numa hipérbole c 2 = a 2 + b 2, segue que Como as estações estão localizadas nos focos da hipérbole segue que a Distância entre elas é 2c=250 Km.

58 b)Numa hipérbole, Então, supondo que no instante considerado d(P,F 1 )>d(P,F 2 ) segue que

59 III.A PARÁBOLA Definição: Num plano fixe uma reta (d) e um ponto F não pertencente a (d). Chamamos de PARÁBOLA de foco F e diretriz (d) ao lugar geométrico dos pontos P do plano que são eqüidistantes de F e de (d).

60 OBSERVAÇÕES: a)Entre todos os pontos da parábola existe um que é o mais próximo da reta (d); este ponto denominamos de VÉRTICE DA PARÁBOLA.

61 b)A reta definida pelo foco F e pelo vértice V é chamada de EIXO DA PARÁBOLA.

62 c)A distância entre o foco e a diretriz é chamada de PARÂMETRO DA PARÁBOLA e é representada por p.

63 A partir da definição e pondo um sistema de coordenadas cartesianas de modo que o vértice da parábola coincida com a origem podemos determinar uma equação para a parábola conforme ilustra o diagrama abaixo EQUAÇÃO PADRÃO (CANÔNICA) DE UMA PARÁBOLA.

64 Pela definição de parábola segue que Elevando ao quadrado e desenvolvendo as contas, Assim é a equação da parábola.

65 d)Caso o eixo de simetria da parábola fosse o eixo x, conforme ilustra a figura abaixo, a sua equação padrão (canônica) seria

66 e)Caso o vértice da parábola não esteja localizado na origem do sistema de coordenadas cartesianas e sim no ponto a equação da parábola assume uma das formas a seguir dependendo se o seu eixo de simetria é paralelo ao eixo y ou ao eixo x respectivamente. ou

67 f)Num tratamento mais aprofundado também podemos associar uma excentricidade à parábola de tal modo que

68 EXERCÍCIOS 1.(UFRN-2003) O conjunto dos pontos P(x, y), que estão a uma mesma distância do ponto F(0,2) e do eixo Ox, no plano cartesiano xy é: a) a parábola de equação b) a parábola de equação c) a parábola de equação d) a parábola de equação

69 Resolução: Note que a distância de P ao eixo OX é justamente o y do ponto P. Assim, Elevando ao quadrado e desenvolvendo... (ALTERNATIVA C)

70 02. Os cabos de um lado de uma ponte pênsil com carga uniformemente distribuída tomam a forma aproximada de um arco de parábola. As torres de suporte dos cabos tem 65m de altura e o intervalo entre as torres é de 500m. O ponto mais baixo fica a 15m do nível da estrada. Achar a equação da parábola considerando o sistema cartesiano ilustrado na figura acima e determine também o comprimento de um fio de sustentação situado a 100m do centro da ponte.

71 Resolução: Com os dados podemos montar a figura a seguir Como a equação de uma parábola é E nesta equação o valor do c corresponde ao local em que a parábola Intersecta o eixo y, segue que neste caso c=15. Assim a equação assume A forma

72 Como o ponto (250,65) pertence a parábola, segue que Assim a equação da parábola é Para x=100,

73 03.(UFRN – 2005) Em uma antena parabólica, os sinais vindos de muito longe, quando incidem em sua superfície, refletem e se concentram no foco F, conforme a figura ao lado. Com base nesse princípio, se C é uma circunferência qualquer, com centro no foco F da parábola, é correto afirmar que a circunferência C a) intersecta a parábola em pelo menos um ponto. b) só pode intersectar a parábola em um ponto. c) só pode tangenciar a parábola em um ponto. d) tangencia a parábola em dois pontos distintos

74 Resolução: Vamos analisar cada uma das alternativas: a) intersecta a parábola em pelo menos um ponto....se C é uma circunferência qualquer, com centro no foco F da parábola, é correto afirmar que a circunferência C Falsa!, pois podemos construir uma circunferência com raio suficientemente pequeno de modo que a circunferência nem intersecte a parábola, conforme ilustra a figura a seguir

75 b) só pode intersectar a parábola em um ponto. b)Falsa!, pois podemos construir uma circunferência com centro F e raio suficientemente grande para intersectar a parábola em dois pontos conforme ilustra a figura abaixo

76 c) só pode tangenciar a parábola em um ponto. Verdadeira!, pois Imagine que uma determinada circunferência, com centro no foco F da parábola, fosse tangente a parábola num ponto Q distinto do seu vértice, conforme ilustra a figura abaixo

77 Como a parábola é simétrica em relação ao seu eixo o ponto Q (simétrico de Q em relação ao eixo da parábola) também pertenceria a circunferência, conforme ilustra a figura abaixo

78 Como o ponto V é o ponto da parábola mais próximo de F, segue que VF

79 Assim o único ponto em que uma circunferência de centro F pode ser tangente a parábola é o seu vértice V, até porque este é o único ponto da parábola em que a reta normal passa pelo foco e como sabemos a normal a um ponto de uma circunferência deve passar pelo seu centro que no caso É o foco F, conforme ilustra a figura abaixo:

80 d) tangencia a parábola em dois pontos distintos É claramente falsa, pois como mostramos no item (a), existem circunferências de centro F que nem intersectam a parábola conforme Ilustra a figura abaixo: (ALTERNATIVA C)

81 04.(UFPB) Uma reta tem coeficiente angular m=-1 e passa pelo vértice da parábola Sua equação cartesiana é: a) x+y-2=0 c) x-y-1=0 e) x+y-1=0 b) x-y+3=0 Resolução: Como o coeficiente angular da reta já é conhecido, precisamos apenas Determinar as coordenadas do vértice da parábola. Para isso lembremos que se uma parábola possui vértice com coordenadas (x V,Y V ) então sua Equação apresenta uma das formas a seguir ou

82 Assim, Como a equação padrão é Segue que Assim a reta que queremos tem coeficiente angular m=-1 e que passa Pelo ponto P=(-1,3). Assim, (ALTERNATIVA A)

83 05.(UERJ-2007) A foto abaixo mostra um túnel cuja entrada forma um arco parabólico com base AB=8m e altura central OC=5,6m. Observe, na foto, um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, cujo eixo horizontal Ox é tangente ao solo e o vertical Oy representa o eixo de simetria da parábola. Ao entrar no túnel, um caminhão com altura AP igual a 2,45 m, como ilustrado a seguir, toca sua extremidade P em um determinado ponto do arco parabólico. Calcule a distância do ponto P ao eixo vertical Oy.

84 Resolução: Com os valores dados podemos montar a figura a seguir: Como a equação de uma parábola é Onde r 1 e r 2 são os valores de x em que a parábola intersecta o eixo x, segue que

85 Como o ponto (0,5.6) pertence a parábola segue que Assim a equação da parábola é Quando y=2,45m segue que Assim a distância do ponto P ao eixo y é de 3,0 metros.

86 FIM!


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