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1. C.Dougherty Introduction to Econometrics 2. Capítulo 16. Bussab&Morettin Estatística Básica 7ª Edição.

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1 1. C.Dougherty Introduction to Econometrics 2. Capítulo 16. Bussab&Morettin Estatística Básica 7ª Edição

2 amostra população Modelo – relação entre variável x e y y = F(x) ? parte não aleatória termo de perturbação – parte aleatória do modelo termo de perturbação – omissão de variável explicative – agregação de variáveis – espicificação incorreta do modelo – espicificação incorreta de dependência funcional – erros de medição Modelo: F(x) é simples linear

3 Estimação de parâmetros. Método de mínimos quadrados observações x y objeto de estudo, por exemplo x é renda familiar y é gasto em alimentos x y mas parâmetros são desconhecidos ? ?

4 Estimação de parâmetros. Método de mínimos quadrados verdadeiroestimação como? x y desvio (erro) ideia – minimirar soma total dos erros realizamos – minimizar soma total de quadrados dos erros

5 Estimação de parâmetros. Método de mínimos quadrados achar a e b tais que SS(a, b) possue o valor minimo possível

6 Estimação de parâmetros. Método de mínimos quadrados

7 Media de x e a média de y estão na reta de regressão: x y

8 Interpretação de equação de regressão FOOD = DPI FOOD new = (DPI+1) = FOOD literalmente, o coeficiente de Inclinação significa que se x aumenta em uma unidade então y aumenta em As duas variável são em $billion, por isso se a renda aumenta em 1$billion então gasto em alimentos aumenta em média em 97$milhões. Em outras palavras, para cada aumento da renda em 1$ o gasto em alimentos aumenta em 9.7 cents. Constante? Literalmente, ela mostra o valor do y quando x = 0. As vezes isso pode levar a alguma interpretação adequada, mas não nesse caso. verdadeiro estimação

9 Modelo estatístico parte aleatória do modelo Gauss-Markov conditions

10 Propriedades estatísticas de coeficientes EX.DOMÉSTICO: provar que a não viesado

11 Propriedades estatísticas de coeficientes como estimar a variância de termo de perturbação? um candidato para estimar e é Mas Var(e) é viesado: não viesado sub-estima a variação verdareira

12 Propriedades estatísticas de coeficientes menor σ 2 menor variação de b maior Var(x) menor variação de b

13 Propriedades estatísticas de coeficientes

14 FOOD = DPI (s.e.) (3.48) (0.0043) Teste de hipótese estatística do teste é

15 Call: lm(formula = x$FOOD ~ x$DPI) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) e-13 *** x$DPI < 2e-16 *** --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Residual standard error: on 23 degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: on 1 and 23 DF, p-value: < 2.2e-16 Teste de hipótese saida do programa R

16 Teste de hipótese Supomos que taxa percentual da inflação de preços depende da taxa percentual da inflação salarial de accordo com o modelo linear: Nos podemos supor tambem que na realidade a taxa pecentual da inflação de preços é igual à taxa percentual da inflação salarial. Em estudo longo de 20 anos (20 observações) o modelo de regressão obtida é estatística do teste correspondente nesse caso é graus de liberade n – 2 = 20 – 2 = 18 e o valor crítico é 2.101

17 população qualidade de modelo é a significância de coeficientes a e b qualidade de modelo inteiro em total ? podemos analizar variação de dados – se o modelo explica bem a variação total de dados ANOVA e qualidade de ajuste (goodness of fit) R 2

18 ANOVA, e qualidade de ajuste (goodness of fit) R 2 variação total: variação de dados ajustados: variação não explicada, erro: ?

19 ANOVA, e qualidade de ajuste (goodness of fit) R 2 ou

20 ANOVA, e qualidade de ajuste (goodness of fit) R 2 causas de variação graus de liberades soma quadrados médios F-estatística nível descritivo Regressão k -1SS Reg SS Erro SS Total n - k MSS Reg =SS Reg /(k-1) MSS Erro =SS Erro /(n - k) MSS Reg MSS Erro Resíduo Totaln -1 p Tabela ANOVA para modelo de regressão n número de observações k numero de parâmtros causas de variação graus de liberades soma quadrados médios F-estatística nível descritivo Regressão 1SS Reg SS Erro SS Total n - 2 MSS Reg =SS Reg SS Erro /(n - 2)=s 2 e SS Reg s 2 e Resíduo Totaln -1 p Tabela ANOVA para modelo de regressão caso k=2

21 ANOVA, e qualidade de ajuste (goodness of fit) R 2 Tambem podemos medir o lucro relativo que se ganha ao introduzir o modelo, usando a estatística que chama se coeficiente de determinação ( coefficient of determination ) F estatistica de análise de variância pode ser representada em modo alternativo em caso k = 2

22 Call: lm(formula = x$FOOD ~ x$DPI) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) e-13 *** x$DPI < 2e-16 *** --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Residual standard error: on 23 degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: on 1 and 23 DF, p-value: < 2.2e-16 saida do programa R ANOVA, e qualidade de ajuste (goodness of fit) R 2 R-squared: F=23*R 2 /(1-R 2 )=23*0.9553/( )= F=23*R 2 /(1-R 2 )=23* /( )=

23 Teste de hipóteses Qual hipótese testa F-estatística (ANOVA)?t-estatística? testes tem que ser equivalentes Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) e-13 *** x$DPI < 2e-16 *** --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Residual standard error: on 23 degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: on 1 and 23 DF, p-value: < 2.2e =491.1

24 Modelos não lineares que podem ser estimados atraves de regressão linear Transformação básica: consumo anual de bananas (y) salario anual (x) foram oservadas 10 familias y = x R 2 = 0.64 (s.e.) (1.23) (0.20) coeficiente estao significantes construimos gráfico:

25 Modelos não lineares que podem ser estimados atraves de regressão linear z = 1 / x y = x R 2 = 0.64 (s.e.) (1.23) (0.20) y = z R 2 = (s.e.) (0.04) (0.12)

26 Modelos não lineares que podem ser estimados atraves de regressão linear Transformação logaritmica. se a elasticidade de y ao respeito de x é constante, entao usaremos a função potência. Elasticidade de y ao respeito da variável x é, pela definição, incremento proporcional de y pelo dado incremento proporcional de x

27 Modelos não lineares que podem ser estimados atraves de regressão linear Transformação logaritmica. para o periodo in EU a curva de Engel foi aplicada para gastos em alimentos (y) em relação ao salario (x). A regressão realizada é ln y = ln x transformando pela função potência temos y = e 1.20 x 0.55 = 3.32 x 0.55 esse resultado sugere que elasticidade de demanda de alimentos em relacão ao salario é 0.55, o que significa que aumento em 1% de salario leva ao aumento de demanda de alimentos em 0.55%. Fator multiplicativo 3.32 não tem a interpretação direta. Esse valor ajuda prever o valor de y quando valor do x é dado

28 Modelos não lineares que podem ser estimados atraves de regressão linear Trend exponencial. Incremento absoluto em y pela unidade de tempo é dada por Incremento proporcional em y pela unidade de tempo é dada por Incremento proporcional em y pela unidade de tempo (taxa) é constante

29 Modelos não lineares que podem ser estimados atraves de regressão linear Trend exponencial. para o periodo in EU a curva de trendo exponencial foi aplicada para gastos em alimentos (y). A regressão realizada é ln y = T transformando pela função potência temos y = e 4.58 e 0.02 T = 97.5 e 0.02 T esse resultado sugere que os gastos em alimentos cresce com a taxa de 2% ao ano desta vez constante pode ter interpretação: ela mostra quanto foi gasto em alimentos em ano calendario 1958 (o que corresponde T = 0) que deu $97.5 bilhões.

30 Referencias: C.Doughertys course internet access:


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